Zmizet v nekonečnu - Vanish at infinity

V matematice se říká , že funkce mizí v nekonečnu, pokud se její hodnoty blíží 0, protože vstup roste bez hranic. Existují dva různé způsoby, jak to definovat, přičemž jedna definice platí pro funkce definované v normovaných vektorových prostorech a druhá platí pro funkce definované v lokálně kompaktních prostorech . Kromě tohoto rozdílu oba tyto pojmy odpovídají intuitivnímu pojmu přidání bodu v nekonečnu a požadavku, aby se hodnoty funkce dostaly libovolně blízko k nule, když se k ní člověk přiblíží. Tuto definici lze v mnoha případech formalizovat přidáním (skutečného) bodu v nekonečnu .

Definice

Říká se, že funkce na normovaném vektorovém prostoru zaniká v nekonečnu, pokud se funkce blíží, jak vstup roste bez hranic (tedy jako ). Nebo, ${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle f (x) \ až 0}$${\ displaystyle \ | x \ | \ do \ infty}$

${\ Displaystyle \ lim _ {x \ to -\ infty} f (x) = \ lim _ {x \ to +\ infty} f (x) = 0.}$

v konkrétním případě funkcí na reálné lince.

Například funkce

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {x^{2} +1}}}$

definovaný na skutečné linii mizí v nekonečnu.

Alternativně funkce na místně kompaktním prostoru zaniká v nekonečnu , pokud je jí dáno jakékoli kladné číslo ε , existuje kompaktní podmnožina taková, že ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle K}$

${\ Displaystyle \ | f (x) \ | <\ varepsilon}$

kdykoli bod leží mimo Jinými slovy, pro každé kladné číslo ε je množina kompaktní. Pro danou místně kompaktním prostoru set takových funkcí ${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle K.}$${\ Displaystyle \ left \ {x \ in X: \ | f (x) \ | \ geq \ varepsilon \ right \}}$${\ displaystyle \ Omega}$

${\ Displaystyle f: \ Omega \ to \ mathbb {K}}$

hodnota, ve které je buď nebo tvoří - vektorový prostor s ohledem na bodově skalární násobení a sčítání , které je často označováno${\ displaystyle \ mathbb {K},}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {C},}$${\ displaystyle \ mathbb {K}}$ ${\ displaystyle C_ {0} (\ Omega).}$

Jako příklad funkce

${\ Displaystyle h (x, y) = {\ frac {1} {x+y}}}$

kde a jsou reality větší nebo rovna 1 a odpovídají bodu na mizí v nekonečnu. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle (x, y)}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {\ geq 1}^{2}}$

Normed prostor je lokálně kompaktní tehdy a jen tehdy, pokud je konečný-rozměrný, takže v tomto konkrétním případě, že jsou dvě různé definice funkce „mizející v nekonečnu“. Tyto dvě definice by mohly být navzájem nekonzistentní: pokud v Banachově prostoru v nekonečném rozměru , pak zmizí v nekonečnu podle definice, ale ne podle definice kompaktní množiny. ${\ Displaystyle f (x) = \ | x \ |^{-1}}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle \ | f (x) \ | \ až 0}$

Rychle klesá

Při upřesňování konceptu se lze blíže podívat na rychlost mizení funkcí v nekonečnu. Jedním ze základních intuice matematické analýzy je, že Fourierova transformace přestupních plynulost podmínky s podmínkami sazeb na mizející v nekonečnu. Tyto rychle se snižující testovací funkce tvrzeného distribuce teorie jsou hladké funkce , které jsou

${\ Displaystyle O \ left (| x |^{-N} \ right)}$

pro všechny , as , a takové, že všechny jejich dílčí deriváty také splňují stejnou podmínku. Tento stav je nastaven tak, aby byl self-dvojí pod Fourierova transformace, takže odpovídající rozdělení teorie z temperovaných distribucí bude mít stejné vlastnosti. ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle | x | \ to \ infty}$

Viz také

• Nekonečno  - matematický koncept
• Projekčně prodloužená skutečná linie
• Nula funkce  - prvek domény, kde je hodnota funkce nulová

Citace

Reference

• Hewitt, E a Stromberg, K (1963). Reálná a abstraktní analýza . Springer-Verlag.Správa CS1: více jmen: seznam autorů ( odkaz )