Haarova vlnovka - Haar wavelet

V matematice je Haarova vlnka sledem převzorkovaných funkcí „čtvercového tvaru“, které dohromady tvoří rodinu nebo základnu vlnky . Waveletova analýza je podobná Fourierově analýze v tom, že umožňuje reprezentovat cílovou funkci v určitém intervalu z hlediska ortonormálního základu . Haarova sekvence je nyní uznávána jako první známá vlnková základna a široce používána jako příklad výuky.

Sekvence Haar bylo navrženo v roce 1909 Alfréd Haar . Haar použil tyto funkce k uvedení příkladu ortonormálního systému pro prostor čtvercově integrovatelných funkcí na jednotkovém intervalu  [0, 1]. Studium waveletů, a dokonce i výrazu „wavelet“, přišlo až mnohem později. Jako zvláštní případ vlnky Daubechies je Haarova vlnka známá také jako Db1 .

Haarova vlnka je také nejjednodušší možná vlnka. Technickou nevýhodou Haarovy vlnky je, že není spojitá , a proto není odlišitelná . Tato vlastnost však může být výhodou pro analýzu signálů s náhlými přechody ( diskrétní signály ), jako je monitorování selhání nástroje ve strojích.

Funkci mateřské vlnky Haar wavelet lze popsat jako ${\ Displaystyle \ psi (t)}$

${\ Displaystyle \ psi (t) = {\ begin {cases} 1 \ quad & 0 \ leq t <{\ frac {1} {2}}, \\-1 & {\ frac {1} {2}} \ leq t <1, \\ 0 & {\ mbox {jinak.}} \ end {cases}}}$

Jeho funkci škálování lze popsat jako ${\ Displaystyle \ varphi (t)}$

${\ Displaystyle \ varphi (t) = {\ begin {cases} 1 \ quad & 0 \ leq t <1, \\ 0 & {\ mbox {else.}} \ end {cases}}}$

Haarovy funkce a Haarův systém

Pro každý pár n , k celých čísel v je Haarova funkce ψ _{n , k} definována na reálném řádku podle vzorce ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ psi _ {n, k} (t) = 2^{n/2} \ psi (2^{n} tk), \ quad t \ in \ mathbb {R}.}$

Tato funkce je podporována v pravém otevřeném intervalu I _{n , k} = [ k 2 ^{- n} , ( k +1) 2 ^{- n} ) , tj . Mimo tento interval zmizí . Má integrál 0 a normu 1 v Hilbertově prostoru L ² ( ) ,  ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle \ int _ {\ mathbb {R}} \ psi _ {n, k} (t) \, dt = 0, \ quad \ | \ psi _ {n, k} \ | _ {L^{2 } (\ mathbb {R})}^{2} = \ int _ {\ mathbb {R}} \ psi _ {n, k} (t)^{2} \, dt = 1.}$

Haarovy funkce jsou párové ortogonální ,

${\ Displaystyle \ int _ {\ mathbb {R}} \ psi _ {n_ {1}, k_ {1}} (t) \ psi _ {n_ {2}, k_ {2}} (t) \, dt = \ delta _ {n_ {1} n_ {2}} \ delta _ {k_ {1} k_ {2}},}$

kde představuje Kroneckerovu deltu . Zde je důvod ortogonality: když jsou dva podpůrné intervaly a nejsou si rovny, pak jsou buď disjunktní, nebo je menší z těchto dvou podpor, řekněme , obsažen v dolní nebo v horní polovině druhého intervalu, na jehož funkce zůstává konstantní. V tomto případě vyplývá, že součin těchto dvou Haarových funkcí je násobkem první Haarovy funkce, proto má součin integrál 0. ${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$${\ displaystyle I_ {n_ {1}, k_ {1}}}$${\ displaystyle I_ {n_ {2}, k_ {2}}}$${\ displaystyle I_ {n_ {1}, k_ {1}}}$${\ Displaystyle \ psi _ {n_ {2}, k_ {2}}}$

Systém Haar na skutečné lince je množina funkcí

${\ Displaystyle \ {\ psi _ {n, k} (t) \;: \; n \ in \ mathbb {Z}, \; k \ in \ mathbb {Z} \}.}$

Je kompletní v L ² ( ): Haarův systém na lince je ortonormální základ v L ² ( ). ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Vlastnosti Haarovy vlnky

Haarova vlnka má několik pozoruhodných vlastností:

1. Každá spojitá skutečné funkce s kompaktním nosičem lze aproximovat jednotně lineární kombinace z a jejich posunutými funkce. To se vztahuje na ty funkční prostory, kde lze jakoukoli funkci v nich aproximovat spojitými funkcemi.${\ Displaystyle \ varphi (t), \ varphi (2t), \ varphi (4t), \ dots, \ varphi (2^{n} t), \ dots}$
2. Každá spojitá reálná funkce na [0, 1] lze aproximovat stejnoměrně na [0, 1] lineárními kombinacemi konstantní funkce  1 , a jejich přesunula funkce.${\ Displaystyle \ psi (t), \ psi (2t), \ psi (4t), \ tečky, \ psi (2^{n} t), \ tečky}$
3. Ortogonalita ve formě

    ${\ Displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} 2^{(n+n_ {1})/2} \ psi (2^{n} tk) \ psi (2^{n_ {1} } t-k_ {1}) \, dt = \ delta _ {nn_ {1}} \ delta _ {kk_ {1}}.}$

Zde představuje Kroneckerovu deltu . Dvojí funkce z cp ( t ) je ψ ( t ) samotné. ${\ displaystyle \ delta _ {ij}}$

1. Funkce vlnky/škálování s různým měřítkem n mají funkční vztah: od

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ varphi (t) & = \ varphi (2t)+\ varphi (2t-1) \\ [. 2em] \ psi (t) & = \ varphi (2t)-\ varphi (2t-1), \ end {aligned}}}$

z toho vyplývá, že koeficienty stupnice n lze vypočítat koeficienty stupnice n+1 :

Li ${\ Displaystyle \ chi _ {w} (k, n) = 2^{n/2} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} x (t) \ varphi (2^{n} tk) \ , dt}$

a ${\ Displaystyle \ mathrm {X} _ {w} (k, n) = 2^{n/2} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} x (t) \ psi (2^{n} tk) \, dt}$

pak

${\ Displaystyle \ chi _ {w} (k, n) = 2^{-1/2} {\ bigl (} \ chi _ {w} (2k, n+1)+\ chi _ {w} (2k +1, n+1) {\ bigr)}}$

${\ Displaystyle \ mathrm {X} _ {w} (k, n) = 2^{-1/2} {\ bigl (} \ chi _ {w} (2k, n+1)-\ chi _ {w } (2k+1, n+1) {\ bigr)}.}$

Haarův systém na jednotkovém intervalu a související systémy

V této části je diskuse omezena na jednotkový interval [0, 1] a na Haarovy funkce, které jsou podporovány na [0, 1]. Systém funkcí uvažovaných Haarem v roce 1910, v tomto článku nazvaný Haarův systém [0, 1] , se skládá z podmnožiny Haarových vlnek definovaných jako

${\ Displaystyle \ {t \ in [0,1] \ mapsto \ psi _ {n, k} (t) \;: \; n \ in \ mathbb {N} \ cup \ {0 \}, \; 0 \ leq k <2^{n} \},}$

s přidáním konstantní funkce 1 na [0, 1].

V Hilbertově vesmírném pojetí je tento Haarův systém na [0, 1] kompletní ortonormální systém , tj . Ortonormální základ pro prostor L ² ([0, 1]) čtvercových integrovatelných funkcí na jednotkovém intervalu.

Haarův systém na [0, 1] - s konstantní funkcí 1 jako prvním prvkem, následovanou Haarovými funkcemi seřazenými podle lexikografického uspořádání párů ( n , k ) - je dále monotónním Schauderovým základem pro prostor L ^p ( [0, 1]), když 1 ≤ p <∞ . Tento základ je bezpodmínečný, když 1 < p <∞ .

Existuje příbuzný systém Rademacher sestávající ze součtů Haarových funkcí,

${\ Displaystyle r_ {n} (t) = 2^{-n/2} \ sum _ {k = 0}^{2^{n} -1} \ psi _ {n, k} (t), \ quad t \ in [0,1], \ n \ geq 0.}$

Všimněte si, že | r _n ( t ) | = 1 na [0, 1). Toto je ortonormální systém, ale není úplný. V jazyce teorie pravděpodobnosti je Rademacherova sekvence příkladem posloupnosti nezávislých Bernoulliho náhodných proměnných s průměrem  0. Khintchinova nerovnost vyjadřuje skutečnost, že ve všech prostorech L ^p ([0, 1]), 1 ≤ p < Když je Rademacherova sekvence ekvivalentní jednotkové vektorové bázi v ℓ ² . Zejména uzavřené lineární rozpětí Rademacherovy sekvence v L ^p ([0, 1]), 1 ≤ p <∞ , je izomorfní na ℓ ² .

Systém Faber – Schauder

Systém Faber – Schauder je rodina spojitých funkcí na [0, 1] sestávající z konstantní funkce  1 a násobků neurčitých integrálů funkcí v Haarově systému na [0, 1], zvolených tak, že mají normu 1 v maximum normou . Tento systém začíná s ₀  =  1 , pak to ₁ ( t ) = t je neurčitý integrál mizí při 0 ° C funkce  1 , první prvek systému Haar na [0, 1]. Dále pro každé celé číslo n ≥ 0 jsou funkce s _{n , k} definovány vzorcem

${\ Displaystyle s_ {n, k} (t) = 2^{1+n/2} \ int _ {0}^{t} \ psi _ {n, k} (u) \, du, \ quad t \ v [0,1], \ 0 \ leq k <2^{n}.}$

Tyto funkce s _{n , k} jsou spojité, po částech lineární , podporované intervalem I _{n , k,} který také podporuje ψ _{n , k} . Funkce s _{n , k} se rovná 1 ve středu x _{n , k} intervalu  I _{n , k} , lineární na obou polovinách tohoto intervalu. Všude nabývá hodnot mezi 0 a 1.

Systém Faber – Schauder je Schauderovým základem pro prostor C ([0, 1]) spojitých funkcí na [0, 1]. Pro každé  f v C ([0, 1]) částečný součet

${\ displaystyle f_ {n+1} = a_ {0} s_ {0}+a_ {1} s_ {1}+\ sum _ {m = 0}^{n-1} {\ Bigl (} \ sum _ {k = 0}^{2^{m} -1} a_ {m, k} s_ {m, k} {\ Bigr)} \ v C ([0,1])}$

z řady rozšíření o f v systému Faber-Schauder je kontinuální po částech lineární funkce, která souhlasí s  f u 2 ⁿ + 1 bodů K 2 ^{- n} , kde 0 ≤ k ≤ 2 ⁿ . Dále vzorec

${\ Displaystyle f_ {n+2} -f_ {n+1} = \ sum _ {k = 0}^{2^{n} -1} {\ bigl (} f (x_ {n, k})- f_ {n+1} (x_ {n, k}) {\ bigr)} s_ {n, k} = \ sum _ {k = 0}^{2^{n} -1} a_ {n, k} s_ {n, k}}$

dává způsob, jak vypočítat expanzi f krok za krokem. Protože f je rovnoměrně spojité , posloupnost { f _n } konverguje rovnoměrně k f . Z toho vyplývá, že expanze f Faber – Schauderovy řady f konverguje v C ([0, 1]) a součet této řady je roven  f .

Franklinův systém

Systém Franklin je získán ze systému Faber – Schauder ortonormalizační procedurou Gram – Schmidt . Protože Franklinův systém má stejné lineární rozpětí jako systém Faber – Schauder, je toto rozpětí husté v C ([0, 1]), tedy v L ² ([0, 1]). Franklinův systém je tedy ortonormální základ pro L ² ([0, 1]), skládající se z kontinuálních lineárních funkcí po částech. P. Franklin v roce 1928 dokázal, že tento systém je Schauderovým základem pro C ([0, 1]). Franklinův systém je také bezpodmínečným Schauderovým základem pro prostor L ^p ([0, 1]), když 1 < p <∞ . Systém Franklin poskytuje Schauderův základ v diskové algebře A ( D ). To dokázal v roce 1974 Bočkarev poté, co existence základu pro diskovou algebru zůstala otevřená více než čtyřicet let.

Bočkarevova konstrukce Schauderovy báze v A ( D ) probíhá následovně: nechť  f je komplexně hodnocená Lipschitzova funkce na [0, π]; pak  f je součet kosinové řady s absolutně sčítatelnými koeficienty. Nechť  T ( f ) je prvek A ( D ) definovaný komplexní mocninnou řadou se stejnými koeficienty,

${\ Displaystyle \ left \ {f: x \ in [0, \ pi] \ rightarrow \ sum _ {n = 0}^{\ infty} a_ {n} \ cos (nx) \ right \} \ longrightarrow \ left \ {T (f): z \ rightarrow \ sum _ {n = 0}^{\ infty} a_ {n} z^{n}, \ quad | z | \ leq 1 \ right \}.}$

Bočkarevův základ pro A ( D ) tvoří obrazy pod  T funkcí ve Franklinově systému na [0, π]. Bočkarev ekvivalentem popis pro mapování  T začíná rozšířením f na i lipschitzovskou funkce  g ₁ o [-π, π], která byla identifikována s funkcí lipschitzovskou na kruhu jednotky  T . Dále, ať g ₂ je konjugát funkce o  g ₁ , a definovat T ( f ), aby se funkce v  A ( D ), jehož hodnota na hranici T části  D se rovná  g ₁ + i g ₂ .

Při práci s 1-periodickými spojitými funkcemi, nebo spíše s spojitými funkcemi f na [0, 1] tak, že f (0) = f (1) , jeden odebere funkci s ₁ ( t ) = t ze systému Faber – Schauder , za účelem získání periodického systému Faber – Schauder . Periodický systém Franklin se získá orthonormalization z periodické Faber - systém Schauder. Bočkarevův výsledek na A ( D ) lze dokázat prokázáním, že periodický Franklinův systém na [0, 2π] je základem pro Banachův prostor A _r izomorfní k A ( D ). Prostor A _{r se} skládá z komplexních spojitých funkcí na jednotkové kružnici T, jejichž konjugovaná funkce je také spojitá.

Haarova matice

2 × 2 Haarova matice, která je spojena s Haarovou vlnovkou, je

${\ Displaystyle H_ {2} = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \ end {bmatrix}}.}$

Pomocí diskrétní vlnkové transformace lze transformovat libovolnou sekvenci sudé délky na sekvenci dvoukomponentních vektorů . Pokud jeden každý vynásobí každý vektor maticí , získá výsledek jednoho stupně rychlé Haar-waveletové transformace. Obvykle se odděluje sekvencí s jsou a D a pokračuje transformací sekvence s . Sekvence s je často označována jako část průměrů , zatímco d je známá jako část podrobností . ${\ displaystyle (a_ {0}, a_ {1}, \ dots, a_ {2n}, a_ {2n+1})}$${\ Displaystyle \ left (\ left (a_ {0}, a_ {1} \ right), \ dots, \ left (a_ {2n}, a_ {2n+1} \ right) \ right)}$${\ displaystyle H_ {2}}$${\ Displaystyle \ left (\ left (s_ {0}, d_ {0} \ right), \ dots, \ left (s_ {n}, d_ {n} \ right) \ right)}$

Pokud má někdo sekvenci délky násobku čtyř, lze stavět bloky 4 prvků a transformovat je podobným způsobem s Haarovou maticí 4 × 4

${\ Displaystyle H_ {4} = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \ end {bmatrix}},}$

který kombinuje dva stupně rychlé Haar-waveletové transformace.

Srovnejte s Walshovou maticí , což je nelokalizovaná matice 1/–1.

Matici 2N × 2N Haar lze obecně odvodit z následující rovnice.

${\ Displaystyle H_ {2N} = {\ begin {bmatrix} H_ {N} \ otimes [1,1] \\ I_ {N} \ otimes [1, -1] \ end {bmatrix}}}$

kde a je produkt Kronecker .${\ Displaystyle I_ {N} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & \ dots & 0 \\ 0 & 1 & \ dots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & \ dots & 1 \ end {bmatrix}}}$${\ Displaystyle \ otimes}$

Produkt Kronecker z , kde je m x n matice a je ap x q matice, je vyjádřena jako ${\ Displaystyle A \ otimes B}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$

${\ Displaystyle A \ otimes B = {\ begin {bmatrix} a_ {11} B & \ dots & a_ {1n} B \\\ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {m1} B & \ dots & a_ {mn} B \ end {bmatrix}}.}$

Níže je uvedena nenormalizovaná 8bodová Haarova matice${\ displaystyle H_ {8}}$

${\ displaystyle H {8} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 \ end {bmatrix}}.}$

Všimněte si toho, že výše uvedená matice je nenormalizovaná Haarova matice. Haarova matice požadovaná Haarovou transformací by měla být normalizována.

Z definice Haarovy matice lze pozorovat, že na rozdíl od Fourierovy transformace má pouze skutečné prvky (tj. 1, -1 nebo 0) a je nesymetrický. ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle H}$

Jako příklad si vezměte 8bodovou Haarovu matici . První řada měří průměrnou hodnotu a druhá řada měří nízkofrekvenční složku vstupního vektoru. Další dva řádky jsou citlivé na první, respektive druhou polovinu vstupního vektoru, což odpovídá mírným frekvenčním složkám. Zbývající čtyři řádky jsou citlivé na čtyři části vstupního vektoru, což odpovídá vysokofrekvenčním složkám. ${\ displaystyle H_ {8}}$${\ displaystyle H_ {8}}$${\ displaystyle H_ {8}}$

Haarova transformace

Haar transformace je nejjednodušší wavelet transformací . Tato transformace cross-znásobuje funkci proti Haarově vlnovce s různými posuny a úseky, jako Fourierova transformace cross-znásobuje funkci proti sinusové vlně se dvěma fázemi a mnoha úseky.

Úvod

Haar transformace je jedním z nejstarších funkcí transformace, navržené v roce 1910 maďarský matematik Alfréd Haar . Je účinný v aplikacích, jako je komprese signálu a obrazu v elektrotechnice a počítačovém inženýrství, protože poskytuje jednoduchý a výpočetně účinný přístup k analýze místních aspektů signálu.

Haarova transformace je odvozena z Haarovy matice. Níže je uveden příklad transformační matice 4x4 Haar.

${\ Displaystyle H_ {4} = {\ frac {1} {2}} {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ {\ sqrt {2}} &-{\ sqrt {2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {\ sqrt {2}} &-{\ sqrt {2}} \ end {bmatrix}}}$

Haarovu transformaci lze považovat za vzorkovací proces, ve kterém řady transformační matice působí jako vzorky s jemnějším a jemnějším rozlišením.

Porovnejte s Walshovou transformací , která je také 1/–1, ale není lokalizovaná.

Vlastnictví

Haarova transformace má následující vlastnosti

1. Není třeba násobení. Vyžaduje pouze sčítání a v Haarově matici je mnoho prvků s nulovou hodnotou, takže doba výpočtu je krátká. Je rychlejší než Walshova transformace , jejíž matice se skládá z +1 a −1.

2. Vstupní a výstupní délka jsou stejné. Délka by však měla být síla 2, tzn .${\ Displaystyle N = 2^{k}, k \ in \ mathbb {N}}$

3. Lze jej použít k analýze lokalizované funkce signálů. Vzhledem k ortogonální vlastnosti Haarovy funkce lze analyzovat frekvenční složky vstupního signálu.

Haarova transformace a Inverzní Haarova transformace

Haarova transformace y _n funkce n-vstupu x _n je

${\ displaystyle y_ {n} = H_ {n} x_ {n}}$

Haarova transformační matice je skutečná a ortogonální. Inverzní Haarovu transformaci lze tedy odvodit pomocí následujících rovnic.

${\ Displaystyle H = H^{*}, H^{-1} = H^{T}, {\ text {ie}} HH^{T} = I}$

kde je matice identity. Například když n = 4${\ displaystyle I}$

${\ Displaystyle H_ {4}^{T} H_ {4} = {\ frac {1} {2}} {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & {\ sqrt {2}} & 0 \\ 1 & 1 &-{\ sqrt {2 }} & 0 \\ 1 & -1 & 0 & {\ sqrt {2}} \\ 1 & -1 & 0 &-{\ sqrt {2}} \ end {bmatrix}} \ cdot \; {\ frac {1} {2}} {\ začít {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ {\ sqrt {2}} &-{\ sqrt {2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {\ sqrt {2}} &-{\ sqrt {2}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$

Inverzní Haarova transformace tedy je

${\ displaystyle x_ {n} = H^{T} y_ {n}}$

Příklad

Haarovy transformační koeficienty = 4-bodového signálu lze nalézt jako ${\ displaystyle x_ {4} = [1,2,3,4]^{T}}$

${\ Displaystyle y_ {4} = H_ {4} x_ {4} = {\ frac {1} {2}} {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ {\ sqrt {2}} &-{\ sqrt {2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & {\ sqrt {2}} &-{\ sqrt {2}} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 5 \\-2 \\-1/{\ sqrt {2}} \\-1/{\ sqrt {2}} \ end {bmatrix}}}$

Vstupní signál pak může být dokonale rekonstruován inverzní Haarovou transformací

${\ displaystyle {\ hat {x_ {4}}} = H_ {4}^{T} y_ {4} = {\ frac {1} {2}} {\ begin {bmatrix} 1 & 1 & {\ sqrt {2} } & 0 \\ 1 & 1 &-{\ sqrt {2}} & 0 \\ 1 & -1 & 0 & {\ sqrt {2}} \\ 1 & -1 & 0 &-{\ sqrt {2}} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix } 5 \\-2 \\-1/{\ sqrt {2}} \\-1/{\ sqrt {2}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \ end {bmatrix}}}$

Viz také

• Redukce rozměrů
• Walshova matice
• Walshova transformace
• Wavelet
• Chirplet
• Signál
• Funkce podobná Haar
• Strömbergova vlnovka
• Dyadická transformace

Poznámky

Reference

• Haar, Alfréd (1910), "Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme", Mathematische Annalen , 69 (3): 331–371, doi : 10.1007/BF01456326 , hdl : 2027/uc1.b2619563
• Charles K.Chui, An Introduction to Wavelets , (1992), Academic Press, San Diego, ISBN  0-585-47090-1
• Anglický překlad Haarova klíčového článku: https://www.uni-hohenheim.de/~gzim/Publications/haar.pdf

externí odkazy

• „Haarův systém“ , encyklopedie matematiky , EMS Press , 2001 [1994]
• Bezplatná implementace Haar wavelet filtrování a interaktivní demo
• Zdarma odhalování vln Haar wavelet a ztrátová komprese signálu

Haarova transformace

• [1]
• [2]
• [3]
• [4]
• [5] Archivováno 21. srpna 2012 na Wayback Machine