Projektivní Hilbertův prostor - Projective Hilbert space

V matematice a základech kvantové mechaniky je projektivní Hilbertův prostor komplexního Hilbertova prostoru množinou tříd ekvivalence nenulových vektorů v , pro vztah na daný ${\ displaystyle P (H)}$ ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ sim}$${\ displaystyle H}$

${\ displaystyle w \ sim v}$ právě když pro nějaké nenulové komplexní číslo . ${\ displaystyle v = \ lambda w}$${\ displaystyle \ lambda}$

Třídy ekvivalence pro vztah se také nazývají paprsky nebo projektivní paprsky . ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle \ sim}$

Toto je obvyklá konstrukce projektivizace aplikovaná na složitý Hilbertův prostor.

Přehled

Fyzikální význam projektivní Hilbert prostoru je, že v kvantové teorii , že vlnové funkce a představují stejný fyzický stav , pro všechny . Je běžné zvolit z paprsku tak, že má jednotku normu , a v tom případě, že se nazývá normalizované vlnová funkce . Omezení jednotkové normy není v paprsku zcela určeno , protože by mohlo být vynásobeno libovolným s absolutní hodnotou 1 (akce U (1) ) a zachovat jeho normalizaci. Taková může být psáno jak se nazývá globální fáze . ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ lambda \ psi}$${\ displaystyle \ lambda \ neq 0}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ langle \ psi | \ psi \ rangle = 1}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda = e ^ {i \ phi}}$${\ displaystyle \ phi}$

Paprsky, které se liší takovým způsobem, odpovídají stejnému stavu (srov. Kvantový stav (algebraická definice) , vzhledem k C * -algebře pozorovatelných a reprezentaci na ). Žádné měření nedokáže obnovit fázi paprsku, není to pozorovatelné. Jeden říká, že jde o skupinu měřidel prvního druhu. ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle U (1)}$

Pokud je neredukovatelné znázornění algebry pozorovatelných, pak paprsky indukují čisté stavy. Konvexní lineární kombinace paprsků přirozeně vedou k hustotní matici, která (stále v případě neredukovatelné reprezentace) odpovídá smíšeným stavům. ${\ displaystyle H}$

Stejnou konstrukci lze použít i na skutečné Hilbertovy prostory.

V případě, že je konečně-dimenzionální, to znamená, že se sadou projektivních paprsků lze zacházet stejně jako s jakýmkoli jiným projektivním prostorem; jedná se o homogenní prostor pro jednotnou skupinu nebo ortogonální skupinu , ve složitých a skutečných případech. Pro konečně-dimenzionální komplex Hilbertova prostoru se píše ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle H = H_ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathrm {U} (n)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {O} (n)}$

${\ displaystyle P (H_ {n}) = \ mathbb {C} P ^ {n-1}}$

tak, že například projektivizace dvourozměrného komplexního Hilbertova prostoru (prostor popisující jeden qubit ) je komplexní projektivní linií . Toto je známé jako Blochova koule . Podrobnosti o konstrukci projektivizace v tomto případě viz Hopfova fibrace . ${\ displaystyle \ mathbb {C} P ^ {1}}$

Složitému projektivnímu Hilbertovu prostoru může být dána přirozená metrika, metrika Fubini – Study , odvozená z normy Hilbertova prostoru.

Produkt

Kartézský součin promítacích Hilbertových prostorů není projektivní prostor. Mapování Segre je zakotvení kartézského součinu dvou projektivní prostor do jejich tenzor produktu . V kvantové teorii popisuje, jak vytvořit stavy složeného systému ze stavů jeho složek. Je to jen vložení , ne surjekce; většina tenzorového produktového prostoru neleží v jeho rozsahu a představuje zapletené stavy .

Viz také

• Projektivní prostor , pro koncept obecně
• Složitý projektivní prostor
• Projektivní zastoupení

Reference

Ashtekar, Abhay ; Schilling, Troy A. (1997). "Geometrická formulace kvantové mechaniky". arXiv : gr-qc / 9706069 .