Problémy spojené s aritmetickými průběhy - Problems involving arithmetic progressions

Problémy zahrnující aritmetické postupnosti se zajímají o teorii čísel , kombinatoriku a informatiku , a to jak z teoretického, tak z aplikovaného hlediska.

Největší podmnožiny bez progrese

Najděte mohutnost (označenou A k ( m )) největší podmnožiny {1, 2, ...,  m }, která neobsahuje žádný postup k odlišných výrazů. Prvky zakázaných průběhů nemusí být po sobě následující.

Například A 4 (10) = 8, protože {1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10} nemá žádné aritmetické posloupnosti délky 4, zatímco všechny podmnožiny devíti prvků {1, 2,. .., 10} mít jeden. Paul Erdős stanovil cenu 1000 $ za otázku týkající se tohoto čísla, kterou sbíral Endre Szemerédi za to, co se stalo známým jako Szemerédiho věta .

Aritmetické průběhy z prvočísel

Hlavní článek: Připraví v aritmetické progresi

Szemerédiho věta uvádí, že množina přirozených čísel nenulové horní asymptotické hustoty obsahuje konečné aritmetické posloupnosti libovolné délky k .

Erdős učinil obecnější domněnku, z níž by to vyplývalo

Posloupnost čísel prvočísel obsahuje aritmetické průběhy libovolné délky.

Tento výsledek prokázali Ben Green a Terence Tao v roce 2004 a nyní je známý jako věta Green – Tao .

Viz také Dirichletova věta o aritmetických postupech .

Od roku 2020 má nejdelší známý aritmetický průběh prvočísel délku 27:

224584605939537911 + 81292139 · 23 # · n , pro n = 0 až 26. ( 23 # = 223092870 )

Od roku 2011 má nejdelší známá aritmetická progrese po sobě jdoucích prvočísel délku 10. Byla nalezena v roce 1998. Postup začíná 93místným číslem

100 99697 24697 14247 63778 66555 87969 84032 95093 24689
19004 18036 03417 75890 43417 03348 88215 90672 29719

a má společný rozdíl 210.

Zdroj o domněnce Erdős-Turán z roku 1936:

  • P. Erdős a P. Turán, O některých sekvencích celých čísel, J. London Math. Soc. 11 (1936), 261–264.

Připraví v aritmetických postupech

Věta o prvočísle pro aritmetické progrese se zabývá asymptotickým rozdělením prvočísel v aritmetické progresi.

Pokrytí a rozdělení do aritmetických průběhů

  • Najděte minimální l n tak, aby jakákoli sada n zbytků modulo p mohla být pokryta aritmetickým postupem délky l n .
  • Pro danou množinu S celých čísel najděte minimální počet aritmetických postupů, které pokrývají S
  • Pro danou množinu S celých čísel najděte minimální počet nepřekrývajících se aritmetických postupů, které pokrývají S
  • Najděte počet způsobů, jak rozdělit {1, ...,  n } na aritmetické posloupnosti.
  • Najděte počet způsobů, jak rozdělit {1, ...,  n } na aritmetické posloupnosti délky alespoň 2 se stejnou periodou.
  • Viz také Krycí systém

Viz také

Poznámky

  1. ^ Samuel S.Wagstaff, Jr. (1979). "Několik otázek týkajících se aritmetických průběhů". Americký matematický měsíčník . Mathematical Association of America. 86 (7): 579–582. doi : 10,2307 / 2320590 . JSTOR 2320590 .  
  2. ^ Weisstein, Eric W. „Prime Arithmetic Progression“ . MathWorld .
  3. ^ Jens Kruse Andersen, připravuje v aritmetických postupech Records . Citováno 2020-08-10.
  4. ^ H. Dubner; T. Forbes; N. Lygeros; M. Mizony; H. Nelson; P. Zimmermann, „Deset po sobě jdoucích prvočísel v aritmetickém postupu“, Math. Comp. 71 (2002), 1323–1328.
  5. ^ Projekt Devět a deset připraví
  6. ^ Vsevolod F. Lev (2000). Msgstr "Simultánní aproximace a pokrytí aritmetickými průběhy přes F p " . Journal of Combinatorial teorie, série A . 92 (2): 103–118. doi : 10,1006 / jcta.1999,3034 .
  7. ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Pořadí A053732 (Počet způsobů rozdělení {1, ..., n} na aritmetické posloupnosti délky> = 1)" . On-Line Encyklopedie sekvencí celého čísla . Nadace OEIS.
  8. ^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Pořadí A072255 (Počet způsobů rozdělení {1,2, ..., n} do aritmetických průběhů ...)" . On-Line Encyklopedie sekvencí celého čísla . Nadace OEIS.