Sekvence Primefree - Primefree sequence

V matematice , je primefree sekvence je sekvence z čísel , která neobsahuje žádné prvočísel . Přesněji řečeno, obvykle to znamená posloupnost definovanou stejným relací opakování jako Fibonacciho čísla , ale s různými počátečními podmínkami, které způsobují, že všichni členové posloupnosti jsou složená čísla, která ne všichni mají společného dělitele . Řečeno algebraicky, sekvence tohoto typu je definován vhodným výběrem dvou kompozitních čísel ₁ a ₂ , tak, že největší společný dělitel je rovno 1, a takové, že pro nejsou v posloupnosti čísel žádné prvočísla vypočteno ze vzorce ${\ displaystyle GCD (a_ {1}, a_ {2})}$ ${\ displaystyle n> 2}$

{\ displaystyle a_ {n} = a_ {n-1} + a_ {n-2}}

.

První primefree sekvence tohoto typu byla publikována Ronaldem Grahamem v roce 1964.

Wilfova sekvence

Sekvence primefree nalezená Herbertem Wilfem má počáteční termíny

{\ displaystyle a_ {1} = 20615674205555510, a_ {2} = 3794765361567513}

(sekvence A083216 v OEIS )

Důkaz, že každý člen této posloupnosti je složený, se opírá o periodicitu číselných posloupností podobných Fibonacciho modulování členů konečné sady prvočísel. Pro každé prvočíslo mají pozice v sekvenci, kde jsou čísla dělitelná opakováním v periodickém vzoru, a různá prvočísla v sadě překrývající se vzory, které vedou k krycí sadě pro celou sekvenci. ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$

Nenáročnost

Požadavek, aby počáteční členy primfree sekvence byly coprime, je nezbytný pro to, aby otázka nebyla triviální. V případě, že původní podmínky mají základní faktor (např, sada a pro některé a obě větší než 1), vzhledem k distribuční majetku z násobení a obecněji všech následujících hodnot v pořadí budou násobky . V tomto případě budou všechna čísla v sekvenci složená, ale z triviálního důvodu. ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle a_ {1} = xp}$ ${\ displaystyle a_ {2} = yp}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle}$ ${\ displaystyle a_ {3} = (x + y) p}$ ${\ displaystyle p}$

Pořadí počátečních podmínek je také důležité. V biografii Paula Effőse Paula Hoffmana , Muž, který miloval pouze čísla , je citována Wilfova sekvence, ale při změně počátečních termínů. Výsledná sekvence se jeví jako primfree pro prvních asi sto termínů, ale termín 138 je 45místný prime . ${\ displaystyle 439351292910452432574786963588089477522344721}$