Penroseův grafický zápis - Penrose graphical notation

Penroseův grafický zápis (zápis tenzorového diagramu) stavu maticového produktu pěti částic.

V matematice a fyzice je Penroseův grafický zápis nebo zápis tenzorového diagramu (obvykle ručně psané) vizuální zobrazení víceřádkových funkcí nebo tenzorů navržených Rogerem Penrosem v roce 1971. Diagram v zápisu se skládá z několika tvarů spojených čarami. Zápis byl rozsáhle studován Predragem Cvitanovićem , který jej použil, Feynmanovy diagramy a další související zápisy při vývoji ptačích stop (skupinově teoretická verze Feynmanových diagramů) ke klasifikaci klasických Lieových skupin . Penroseova notace byla také zobecněna pomocí teorie reprezentace pro roztočení sítí ve fyzice a s přítomností skupin matic pro trasování diagramů v lineární algebře . Zápis se široce objevuje v moderní kvantové teorii , zejména ve stavech maticových produktů a kvantových obvodech .

Interpretace

Víceřádková algebra

V jazyce víceřádkové algebry každý tvar představuje víceřádkovou funkci . Čáry připojené k tvarům představují vstupy nebo výstupy funkce a připojení tvarů k sobě nějakým způsobem je v podstatě složením funkcí .

Tenzory

V jazyce tenzorové algebry je určitý tenzor spojen s určitým tvarem s mnoha čarami vyčnívajícími nahoru a dolů, což odpovídá abstraktním horním a dolním indexům tenzoru. Spojovací čáry mezi dvěma tvary odpovídají smrštění indexů . Jednou z výhod tohoto zápisu je, že člověk nemusí vymýšlet nová písmena pro nové indexy. Tento zápis je také výslovně základ -nezávislý.

Matice

Každý tvar představuje matici a násobení tenzoru se provádí vodorovně a násobení matice se provádí svisle.

Zastoupení speciálních tenzorů

Metrický tenzor

Metrický tensor je reprezentován ve tvaru písmene U nebo smyčku obrácený U tvaru smyčky, v závislosti na typu tenzoru, který je použit.

metrický tenzor

{\ displaystyle g^{ab}}

metrický tenzor

{\ displaystyle g_ {ab}}

Tenzor Levi-Civita

Levi-Civita antisymetrická tenzor představuje hustou hrazdu s pamětí směřující nahoru nebo dolů, v závislosti na typu tenzoru, který je použit.

{\ Displaystyle \ varepsilon _ {ab \ ldots n}}

{\ Displaystyle \ varepsilon ^{ab \ ldots n}}

{\ Displaystyle \ varepsilon _ {ab \ ldots n} \, \ varepsilon ^{ab \ ldots n}}

{\ displaystyle = n!}

Struktura struktury

konstantní struktura

{\ displaystyle {\ gamma _ {\ alpha \ beta}}^{\ chi} =-{\ gamma _ {\ beta \ alpha}}^{\ chi}}

Strukturní konstanty ( ) Lieovy algebry jsou reprezentovány malým trojúhelníkem s jednou linií směřující nahoru a dvěma liniemi směřujícími dolů. ${\ displaystyle {\ gamma _ {ab}}^{c}}$

Operace tenzoru

Kontrakce indexů

Kontrakce indexů je reprezentována spojením řádků indexu dohromady.

Kroneckerova delta

{\ Displaystyle \ delta _ {b}^{a}}

Tečkovaný produkt

{\ displaystyle \ beta _ {a} \, \ xi ^{a}}

{\ Displaystyle g_ {ab} \, g^{bc} = \ delta _ {a}^{c} = g^{cb} \, g_ {ba}}

Symetrizace

Symetrizace indexů je reprezentována tlustou klikatou nebo vlnovkou, která vodorovně překračuje indexové čáry.

Symetrizace (s )

{\ displaystyle Q^{(ab \ ldots n)}}

{\ displaystyle {} _ {Q^{ab} = Q^{[ab]}+Q^{(ab)}}}

Antisymmetrizace

Antisymmetrizace indexů je reprezentována silnou přímkou protínající vodorovně indexové čáry.

Antisymmetrizace (s )

{\ Displaystyle E _ {[ab \ ldots n]}}

{\ displaystyle {} _ {E_ {ab} = E _ {[ab]}+E _ {(ab)}}}

Determinant

Determinant je vytvořen aplikací antisymmetrizace na indexy.

Determinant

{\ Displaystyle \ det \ mathbf {T} = \ det \ left (T _ {\ b}^{a} \ right)}

Inverzní matice

{\ Displaystyle \ mathbf {T}^{-1} = \ left (T _ {\ b}^{a} \ right)^{-1}}

Kovarianční derivát

Kovariantní derivace ( ) je reprezentována kruhu kolem tenzoru (y), které mají být diferencované a linie spojující z kruhu směrem dolů reprezentovat nižší index derivátu. ${\ displaystyle \ nabla}$