Padovanská sekvence - Padovan sequence

V teorii čísel je Padovan sekvence je sekvence z celá čísla P ( n ) definované počáteční hodnoty

${\ Displaystyle P (0) = P (1) = P (2) = 1,}$

a relace recidivy

${\ Displaystyle P (n) = P (n-2)+P (n-3).}$

Prvních několik hodnot P ( n ) je

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265, ... (sekvence A000931 v OEIS )

Padovan prime je Padovan číslo , které je také prvočíslo . První padovanské prvočísla jsou:

2, 3, 5, 7, 37, 151, 3329, 23833, 13091204281, 3093215881333057, 1363005552434666078217421284621279933627102780881053358473, 1558877695141608507751098941899265975115403618621811951868598809164180630185566719, ... (sekvence A100891 v OEIS ).

Padovanská sekvence je pojmenována po Richardu Padovanovi, který svůj objev připsal nizozemskému architektovi Hansi van der Laanovi v eseji Dom z roku 1994 . Hans van der Laan: Modern Primitive . Sekvenci popsal Ian Stewart ve svém vědeckém americkém sloupku Mathematical Recreations v červnu 1996. Píše o tom také v jedné ze svých knih „Math Hysteria: Fun Games With Mathematics“.

Výše uvedená definice je ta, kterou uvedli Ian Stewart a MathWorld . Jiné zdroje mohou začít sekvenci na jiném místě. V takovém případě je třeba některé identity v tomto článku upravit pomocí vhodných posunů.

Vztahy s opakováním

Ve spirále každý trojúhelník sdílí stranu se dvěma dalšími, což dává vizuální důkaz, že Padovanova sekvence také splňuje relaci opakování

${\ Displaystyle P (n) = P (n-1)+P (n-5)}$

Vycházeje z toho, je určujícím opakování a další opakování, když jsou objeveny, lze vytvořit nekonečnou řadu dalších recidiv opakovaným nahrazením podle${\ Displaystyle P (m)}$${\ Displaystyle P (m-2)+P (m-3)}$

Perrin sekvence splňuje stejné Rekurentní vztahy jako PADOVAN pořadí, i když se mohou nacházet různá počáteční hodnoty.

Perrinovu sekvenci lze získat z Padovanovy sekvence následujícím vzorcem:

${\ Displaystyle \ mathrm {Perrin} (n) = P (n+1)+P (n-10). \,}$

Rozšíření na negativní parametry

Jako u každé posloupnosti definované relací recidivy lze Padovanova čísla P ( m ) pro m <0 definovat přepsáním relace recidivy jako

${\ Displaystyle P (m) = P (m+3) -P (m+1),}$

Počínaje m = −1 a pracujeme zpět, rozšíříme P ( m ) na záporné indexy:

P −20	P −19	P −18	P −17	P −16	P −15	P −14	P −13	P −12	P −11	P −10	P −9	P −8	P -7	P −6	P −5	P −4	P −3	P −2	P -1	P 0	P 1	P 2
7	−7	4	0	−3	4	−3	1	1	−2	2	-1	0	1	-1	1	0	0	1	0	1	1	1

Součty termínů

Součet prvních n členů v Padovanově sekvenci je o 2 menší než P ( n  + 5), tj

${\ Displaystyle \ sum _ {m = 0}^{n} P (m) = P (n+5) -2.}$

Součty alternativních výrazů, součty každého třetího členu a součty každého pátého členu také souvisejí s jinými výrazy v pořadí:

${\ Displaystyle \ sum _ {m = 0}^{n} P (2m) = P (2n+3) -1}$ OEIS :  A077855

${\ Displaystyle \ sum _ {m = 0}^{n} P (2m+1) = P (2n+4) -1}$

${\ Displaystyle \ sum _ {m = 0}^{n} P (3m) = P (3n+2)}$ OEIS :  A034943

${\ Displaystyle \ sum _ {m = 0}^{n} P (3m+1) = P (3n+3) -1}$

${\ Displaystyle \ sum _ {m = 0}^{n} P (3m+2) = P (3n+4) -1}$

${\ Displaystyle \ sum _ {m = 0}^{n} P (5 m) = P (5n+1).}$ OEIS :  A012772

Součty zahrnující produkty termínů v Padovanově sekvenci splňují následující identity:

${\ Displaystyle \ sum _ {m = 0}^{n} P (m)^{2} = P (n+2)^{2} -P (n-1)^{2} -P (n- 3)^{2}}$

${\ Displaystyle \ sum _ {m = 0}^{n} P (m)^{2} P (m+1) = P (n) P (n+1) P (n+2)}$

${\ Displaystyle \ sum _ {m = 0}^{n} P (m) P (m+2) = P (n+2) P (n+3) -1.}$

Jiné identity

Padovanova sekvence také uspokojuje identitu

${\ Displaystyle P (n)^{2} -P (n+1) P (n-1) = P (-n-7). \,}$

Padovanova sekvence souvisí se součty binomických koeficientů následující identitou:

${\ Displaystyle P (k-2) = \ sum _ {2m+n = k} {m \ choose n} = \ sum _ {m = \ lceil k/3 \ rceil}^{\ lfloor k/2 \ rfloor } {m \ choose k-2m}.}$

Například pro k = 12 jsou hodnoty pro pár ( m ,  n ) s 2 m  +  n = 12, které dávají nenulové binomické koeficienty, (6, 0), (5, 2) a (4, 4) , a:

${\ displaystyle {6 \ choose 0}+{5 \ choose 2}+{4 \ choose 4} = 1+10+1 = 12 = P (10). \,}$

Vzorec podobný Binetu

Posloupská čísla Padovana lze zapsat pomocí mocnin kořenů rovnice

${\ Displaystyle x^{3} -x-1 = 0. \,}$

Tato rovnice má 3 kořeny; jeden skutečný kořen p (známý jako plastické číslo ) a dva komplexní konjugované kořeny q a r . Vzhledem k těmto třem kořenům lze Padovanovu sekvenci vyjádřit pomocí vzorce zahrnujícího p , q a r :

${\ Displaystyle P \ left (n \ right) = ap^{n}+bq^{n}+cr^{n}}$

kde a , b a c jsou konstanty.

Protože velikosti komplexních kořenů q a r jsou oba menší než 1 (a proto p je číslo Pisot – Vijayaraghavan ), síly těchto kořenů se blíží 0 pro velká n a mají tendenci k nule. ${\ Displaystyle P \ left (n \ right) -a {p^{n}}}$

Pro všechny je P (n) celé číslo, kterému je nejblíže . Ve skutečnosti je hodnota konstantní A výše, přičemž b a c se získají nahrazením p s q a r , v daném pořadí. ${\ Displaystyle n \ geq 0}$${\ displaystyle {\ frac {p^{5}} {2p+3}} p^{n}}$${\ displaystyle {\ frac {p^{5}} {2p+3}}}$

Poměr po sobě jdoucích členů v Padovanově sekvenci se blíží p , který má hodnotu přibližně 1,324718. Tato konstanta nese stejný vztah k Padovanově sekvenci a Perrinově sekvenci jako zlatý řez k Fibonacciho sekvenci .

Kombinatorické interpretace

• P ( n ) je počet způsobů psaní n  + 2 je uspořádané částky, ve které každý termín je buď 2 nebo 3 (tj počet kompozic z n  + 2, kde každý člen je buď 2 nebo 3). Například P (6) = 4 a existují 4 způsoby, jak zapsat 8 jako seřazený součet 2 s a 3 s:

2 + 2 + 2 + 2; 2 + 3 + 3; 3 + 2 + 3; 3 + 3 + 2

• Počet způsobů zápisu n jako seřazeného součtu, ve kterém žádný výraz není 2, je P (2 n  - 2). Například P (6) = 4 a existují 4 způsoby, jak zapsat 4 jako seřazený součet, ve kterém žádný výraz není 2:

4; 1 + 3; 3 + 1; 1 + 1 + 1 + 1

• Počet způsobů zápisu n jako palindromického uspořádaného součtu, ve kterém žádný člen není 2, je P ( n ). Například P (6) = 4 a existují 4 způsoby, jak napsat 6 jako palindromický uspořádaný součet, ve kterém žádný výraz není 2:

6; 3 + 3; 1 + 4 + 1; 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

• Počet způsobů zápisu n jako uspořádaného součtu, ve kterém je každý člen lichý a větší než 1, se rovná P ( n  - 5). Například P (6) = 4 a existují 4 způsoby, jak zapsat 11 jako seřazený součet, ve kterém je každý výraz lichý a větší než 1:

11; 5 + 3 + 3; 3 + 5 + 3; 3 + 3 + 5

• Počet způsobů zápisu n jako uspořádaného součtu, ve kterém je každý člen shodný se 2 mod 3, se rovná P ( n  - 4). Například P (6) = 4 a existují 4 způsoby, jak zapsat 10 jako seřazený součet, ve kterém je každý výraz v souladu se 2 modem 3:

8 + 2; 2 + 8; 5 + 5; 2 + 2 + 2 + 2 + 2

Generující funkce

Funkce generující na PADOVAN sekvence je

${\ Displaystyle G (P (n); x) = {\ frac {1+x} {1-x^{2} -x^{3}}}.}$

Toho lze použít k prokázání identit zahrnujících produkty Padovanovy sekvence geometrickými výrazy, například:

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {P (n)} {2^{n}}} = {\ frac {12} {5}}.}$

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^{\ infty} {\ frac {P (n)} {\ alpha ^{n}}} = {\ frac {\ alpha ^{2} (\ alpha +1 )} {\ alpha ^{3} -\ alpha -1}}.}$

Zobecnění

Podobným způsobem jako Fibonacciho čísla, která lze zobecnit na množinu polynomů nazývaných Fibonacciho polynomy , lze Padovanova sekvenční čísla zobecnit, aby se získaly padovanské polynomy .

Padovan L-systém

Pokud definujeme následující jednoduchou gramatiku:

proměnné  : ABC

konstanty  : žádné

začátek  : A.

pravidla  : (A → B), (B → C), (C → AB)

pak tento systém Lindenmayer nebo L-systém produkuje následující sekvenci řetězců:

n = 0: A

n = 1: B

n = 2: C

n = 3: AB

n = 4: př. n. l

n = 5: KABINA

n = 6: ABBC

n = 7: BCCAB

n = 8: CABABBC

a pokud spočítáme délku každého řetězce, získáme padovanskou posloupnost čísel:

1 1 1 2 2 3 4 5 ...

Pokud také spočítáte počet A s, B s a C s v každém řetězci, pak pro n -tý řetězec máte P ( n  - 5) A s, P ( n  - 3) B s a P ( n  - 4) C s. Počet BB párů a CC párů je také Padovanova čísla.

Kvádrová spirála

Spirálu lze vytvořit na základě spojení rohů sady 3-dimenzionálních kvádrů. Toto je padovanská kvádrová spirála . Po sobě jdoucí strany této spirály mají délky, které jsou čísly Padovanovy sekvence vynásobené druhou odmocninou 2 .

Pascalův trojúhelník

Erv Wilson ve svém příspěvku The Scales of Mt. Meru pozoroval určité úhlopříčky v Pascalově trojúhelníku (viz diagram) a nakreslil je na papír v roce 1993. Padovanská čísla byla objevena v roce 1994. Paul Barry (2004) ukázal, že tyto úhlopříčky generují Padovanovu sekvenci sečtením diagonálních čísel.

Reference

• Ian Stewart, Průvodce počítačovou seznamkou (zpětná vazba), Scientific American, sv. 275, č. 5, listopad 1996, str. 118.

externí odkazy

• Sekvence OEIS A000931 (Padovanova sekvence)
• Padovanská kalkulačka posloupnosti