Nástroj s více atributy - Multi-attribute utility

V teorii rozhodování se funkce více atributů používá k vyjádření preferencí agenta před svazky zboží, a to buď za podmínek jistoty o výsledcích jakékoli potenciální volby, nebo za podmínek nejistoty.

Předkola

Osoba se musí rozhodnout mezi dvěma nebo více možnostmi. Rozhodnutí je založeno na atributech možností.

Nejjednodušší případ je, když existuje pouze jeden atribut, např. Peníze. Obvykle se předpokládá, že všichni lidé upřednostňují více peněz před méně penězi; problém v tomto případě je tedy triviální: vyberte možnost, která vám poskytne více peněz.

Ve skutečnosti existují dva nebo více atributů. Například si člověk musí vybrat mezi dvěma možnostmi zaměstnání: možnost A mu dá 12 000 $ měsíčně a 20 dní dovolené, zatímco možnost B mu dá 15 000 $ měsíčně a jen 10 dní dovolené. Osoba se musí rozhodnout mezi (12 tis., 20) a (15 tis., 10). Různí lidé mohou mít různé preference. Za určitých podmínek mohou být preference člověka vyjádřeny numerickou funkcí. Pořadová funkce článku popisuje některé vlastnosti těchto funkcí a některé způsoby, kterými je lze vypočítat.

Další úvahou, která by mohla komplikovat rozhodovací problém, je nejistota . I když existují nejméně čtyři zdroje nejistoty - výsledky atributů a nejasnost rozhodovacího orgánu týkající se: a) konkrétních tvarů jednotlivých užitných funkcí atributů, b) hodnot agregačních konstant ac) toho, zda jsou užitné funkce atributů aditivní , přičemž tyto pojmy se v současnosti řeší - nejistota od nynějška znamená pouze náhodnost v úrovních atributů. Tato komplikace nejistoty existuje, i když existuje jediný atribut, např. Peníze. Například možnost A může být loterie s 50% šancí na výhru 2 $, zatímco možnost B je určitě výhra 1 $. Osoba se musí rozhodnout mezi loterií <2: 0,5> a loterií <1: 1>. Opět platí, že různí lidé mohou mít různé preference. Opět platí, že za určitých podmínek mohou být předvolby reprezentovány numerickou funkcí. Takovým funkcím se říká kardinální obslužné funkce. Článek Von Neumann – Morgensternova věta o užitku popisuje některé způsoby, kterými je lze vypočítat.

Nejobecnější situace je, že existují oba více atributů a nejistota. Například možností A může být loterie s 50% šancí vyhrát dvě jablka a dva banány, zatímco možností B je vyhrát dva banány pro jistotu. Rozhodnutí je mezi <(2,2) :( 0,5,0,5)> a <(2,0) :( 1,0)>. Předvolby zde mohou být reprezentovány hlavními obslužnými funkcemi, které vyžadují několik proměnných (atributů). Na tyto funkce se zaměřuje aktuální článek.

Cílem je vypočítat užitnou funkci, která představuje preference dané osoby v loteriích svazků. Tj. Loterie A je upřednostňována před loterií B právě tehdy, když je očekávání funkce vyšší pod A než pod B: ${\ displaystyle u (x_ {1}, ..., x_ {n})}$${\ displaystyle u}$

${\ displaystyle E_ {A} [u (x_ {1}, ..., x_ {n})]> E_ {B} [u (x_ {1}, ..., x_ {n})]}$

Posouzení funkce více atributů základní funkce

Pokud je počet možných svazků konečný, lze u konstruovat přímo, jak vysvětlili von Neumann a Morgenstern (VNM): uspořádejte svazky od nejméně preferovaného po nejvýhodnější, přiřaďte obslužný program 0 k prvnímu a obslužný program 1 k druhému a přiřaďte každému balíčku mezi pomůckou rovnou pravděpodobnosti ekvivalentní loterie.

Pokud je počet svazků nekonečný, jednou z možností je začít ignorováním náhodnosti a posoudit pořadovou užitnou funkci, která představuje užitečnost dané osoby na jistých svazcích. Tj. Svazek x je upřednostňován před svazkem y právě tehdy, když je funkce vyšší pro x než pro y: ${\ displaystyle v (x_ {1}, ..., x_ {n})}$${\ displaystyle v}$

${\ displaystyle v (x_ {1}, ..., x_ {n})> v (y_ {1}, ..., y_ {n})}$

Tato funkce ve skutečnosti převádí problém s více atributy na problém s jedním atributem: atribut je . Potom lze VNM použít ke konstrukci funkce . ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle u}$

Všimněte si, že u musí být pozitivní monotónní transformace v . To znamená, že existuje monotónně rostoucí funkce , která: ${\ displaystyle r: \ mathbb {R} \ do \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle u (x_ {1}, ..., x_ {n}) = r (v (x_ {1}, ..., x_ {n}))}$

Problém tohoto přístupu spočívá v tom, že není snadné posoudit funkci r . Při hodnocení funkce atributu kardinál s jedním atributem pomocí VNM si klademe otázky jako: „Jaká pravděpodobnost výhry $ 2 odpovídá $ 1?“. Abychom mohli posoudit funkci r , musíme si položit otázku jako: „Jaká pravděpodobnost výhry 2 hodnotových jednotek odpovídá 1 hodnotě?“. Na druhou otázku je mnohem těžší odpovědět než na první otázku, protože zahrnuje „hodnotu“, což je abstraktní veličina.

Možným řešením je výpočet n jednorozměrných hlavních užitných funkcí - jedna pro každý atribut. Předpokládejme například, že existují dva atributy: jablka ( ) a banány ( ), které se pohybují mezi 0 a 99. Pomocí VNM můžeme vypočítat následující jednorozměrné užitné funkce: ${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$

• ${\ displaystyle u (x_ {1}, 0)}$ - hlavní nástroj na jablkách, pokud nejsou žádné banány (jižní hranice domény);
• ${\ displaystyle u (99, x_ {2})}$ - hlavní nástroj pro banány, když jsou jablka na maximu (východní hranice domény).

Pomocí lineárních transformací změňte měřítko funkcí tak, aby měly stejnou hodnotu na (99,0).

Pak pro každý svazek najděte ekvivalentní svazek (svazek se stejným v ), který je buď ve formě, nebo ve tvaru , a nastavte jeho obslužný program na stejné číslo. ${\ displaystyle (x_ {1} ', x_ {2}')}$${\ displaystyle (x_ {1}, 0)}$${\ displaystyle (99, x_ {2})}$

Určité vlastnosti nezávislosti mezi atributy lze často použít k usnadnění konstrukce užitné funkce.

Aditivní nezávislost

Nejsilnější vlastnost nezávislosti se nazývá aditivní nezávislost . Dva atributy, 1 a 2, se nazývají aditivní nezávislé , pokud preference mezi dvěma loteriemi (definovanými jako společné rozdělení pravděpodobnosti u těchto dvou atributů) závisí pouze na jejich rozdělení okrajové pravděpodobnosti (marginální PD u atributu 1 a marginální PD u atributu 2 ).

To například znamená, že následující dvě loterie jsou rovnocenné:

• ${\ displaystyle L}$: Loterie se stejnou šancí mezi a ;${\ displaystyle (x_ {1}, x_ {2})}$${\ displaystyle (y_ {1}, y_ {2})}$
• ${\ displaystyle M}$: Loterie se stejnou šancí mezi a .${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {2})}$${\ displaystyle (y_ {1}, x_ {2})}$

V obou těchto loteriích je mezní PD u atributu 1 50% pro a 50% pro . Podobně je mezní PD u atributu 2 50% pro a 50% pro . Pokud má tedy agent pomocné programy nezávislé na aditivech, musí být mezi těmito dvěma loteriemi lhostejný. ${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle y_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$${\ displaystyle y_ {2}}$

Zásadním výsledkem v teorii užitečnosti je, že dva atributy jsou nezávislé na aditivech, právě když je jejich funkce dvou atributů užitečná aditivní a má tvar:

${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = u_ {1} (x_ {1}) + u_ {2} (x_ {2})}$

DŮKAZ:

${\ displaystyle \ longrightarrow}$

Pokud jsou atributy nezávislé na aditivech, jsou loterie a , definované výše, rovnocenné. To znamená, že jejich očekávaná užitečnost je stejná, tj.: . Vynásobením 2 získáte: ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle E_ {L} [u] = E_ {M} [u]}$

${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) + u (y_ {1}, y_ {2}) = u (x_ {1}, y_ {2}) + u (y_ {1}, x_ {2})}$

To platí pro jakýkoli výběr a . Předpokládejme, že teď a jsou pevné. Libovolně nastaveno . Napište: a . Výše uvedená rovnice se stává: ${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle y_ {i}}$${\ displaystyle y_ {1}}$${\ displaystyle y_ {2}}$${\ displaystyle u (y_ {1}, y_ {2}) = 0}$${\ displaystyle u_ {1} (x_ {1}) = u (x_ {1}, y_ {2})}$${\ displaystyle u_ {2} (x_ {2}) = u (y_ {1}, x_ {2})}$

${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = u_ {1} (x_ {1}) + u_ {2} (x_ {2})}$

${\ displaystyle \ longleftarrow}$

Pokud je funkce u aditivní, pak podle pravidel očekávání pro každou loterii : ${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle E_ {L} [u (x_ {1}, x_ {2})] = E_ {L} [u_ {1} (x_ {1})] + E_ {L} [u_ {2} (x_ {2})]}$

Tento výraz závisí pouze na rozdělení marginální pravděpodobnosti na dvou atributech. ${\ displaystyle L}$

Tento výsledek se zobecňuje na libovolný počet atributů: pokud předvolby loterií u atributů 1, ..., n závisí pouze na jejich marginálním rozdělení pravděpodobnosti, pak je funkce obslužného programu n -attribute aditivní:

${\ displaystyle u (x_ {1}, \ tečky, x_ {n}) = \ součet _ {i = 1} ^ {n} {k_ {i} u_ {i} (x_ {i})}}$

kde a jsou normalizovány na rozsah a jsou normalizační konstanty. ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle u_ {i}}$${\ displaystyle [0,1]}$${\ displaystyle k_ {i}}$

Většinu práce v teorii aditivní užitečnosti provedl Peter C. Fishburn .

Nezávislost na užitku

Trochu slabší vlastností nezávislosti je nezávislost na užitku . Atribut 1 je nezávislý na užitku z atributu 2, pokud podmíněné preference u loterií na atributu 1 mají konstantní hodnotu atributu 2, nezávisí na této konstantní hodnotě.

To například znamená, že preference mezi loterií a loterií je stejná, bez ohledu na hodnotu . ${\ displaystyle <(x_ {1}, x_ {2}) :( y_ {1}, x_ {2})>}$${\ displaystyle <(x '_ {1}, x_ {2}) :( y' _ {1}, x_ {2})>}$${\ displaystyle x_ {2}}$

Nezapomeňte, že nezávislost utility (na rozdíl od aditivní nezávislosti) není symetrická: je možné, že atribut 1 je nezávislý na utility od atributu 2 a ne naopak.

Pokud je atribut 1 nezávislý na užitku z atributu 2, pak je užitná funkce pro každou hodnotu atributu 2 lineární transformací užitné funkce pro každou další hodnotu atributu 2. Proto jej lze zapsat jako:

${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = c_ {1} (x_ {2}) + c_ {2} (x_ {2}) \ cdot u (x_ {1}, x_ {2} ^ {0})}$

kdy je konstantní hodnota pro atribut 2. Podobně, pokud je atribut 2 nezávislý na užitku z atributu 1: ${\ displaystyle x_ {2} ^ {0}}$

${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = d_ {1} (x_ {1}) + d_ {2} (x_ {1}) \ cdot u (x_ {1} ^ {0}, x_ {2})}$

Pokud jsou atributy vzájemně nezávislé na obslužném programu , pak má obslužná funkce u následující multilineární podobu :

${\ displaystyle u (x_ {1}, x_ {2}) = u_ {1} (x_ {1}) + u_ {2} (x_ {2}) + k \ cdot u_ {1} (x_ {1} ) \ cdot u_ {2} (x_ {2})}$

Kde je konstanta, která může být kladná, záporná nebo 0. ${\ displaystyle k}$

• Když je funkce u aditivní a atributy jsou nezávislé na adici.${\ displaystyle k = 0}$
• Kdy je funkce obslužného programu multiplikativní, protože ji lze zapsat jako:${\ displaystyle k \ neq 0}$

${\ displaystyle [ku (x_ {1}, x_ {2}) + 1] = [ku_ {1} (x_ {1}) + 1] \ cdot [ku_ {2} (x_ {2}) + 1] }$

kde každý člen je lineární transformací užitné funkce.${\ displaystyle k \ cdot +1}$

Tyto výsledky lze zobecnit na libovolný počet atributů. Vzhledem k tomu, že atributy 1, ..., n , je-li libovolná podmnožina atributů nezávislá na užitku od svého doplňku, je funkce obslužného programu n -attribute vícelineární a má jednu z následujících forem:

• Aditivní nebo -
• Multiplikativní :

${\ displaystyle 1 + ku (x_ {1}, \ tečky, x_ {n}) = \ prod _ {i = 1} ^ {n} {1 + kk_ {i} u_ {i} (x_ {i}) }}$

kde:

• Hodnoty a jsou normalizovány na rozsah ;${\ displaystyle u}$${\ displaystyle u_ {i}}$${\ displaystyle [0,1]}$
• Jsou konstanty ;${\ displaystyle k_ {i}}$${\ displaystyle [0,1]}$
• ${\ displaystyle k}$je konstanta, která je buď v nebo v (všimněte si, že limit when je aditivní forma).${\ displaystyle (-1,0)}$${\ displaystyle (0, \ infty)}$${\ displaystyle k \ až 0}$

Porovnání konceptů nezávislosti

Je užitečné porovnat tři různé koncepty související s nezávislostí atributů: Additive-independent (AI), Utility-independent (UI) a Preference-independent (PI).

AI a UI se týkají preferencí loterií a jsou vysvětleny výše. PI se týká preferencí jistých výsledků a je vysvětleno v článku o pořadové užitečnosti .

Pořadí jejich implikace je následující:

AI ⇒ UI ⇒ PI

AI je symetrický vztah (pokud je atribut 1 AI atributu 2, pak atribut 2 je AI atributu 1), zatímco UI a PI nejsou.

AI znamená vzájemné uživatelské rozhraní. Opak není obecně pravdivý; je to pravda, pouze pokud ve vícelineárním vzorci pro atributy uživatelského rozhraní. Pokud ale kromě vzájemného uživatelského rozhraní existují, pro které jsou dvě loterie a jsou definovány výše, ekvivalentní - pak musí být 0, což znamená, že preferenční vztah musí být AI. ${\ displaystyle k = 0}$${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, y_ {1}, y_ {2}}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle k}$

Uživatelské rozhraní znamená PI. Opak není obecně pravdivý. Ale pokud:

• existují alespoň 3 základní atributy a:
• všechny páry atributů {1, i } jsou PI jejich doplňku a:
• atribut 1 je uživatelské rozhraní jeho doplňku,

pak jsou všechny atributy vzájemně UI. Kromě toho v takovém případě existuje jednoduchý vztah mezi hlavní užitnou funkcí představující preference v loteriích a pořadovou užitnou funkcí představující předvolby na jistých svazcích. Funkce musí mít jednu z následujících forem: ${\ displaystyle u}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle u}$

• Přísada: ${\ displaystyle u (x_ {1}, ..., x_ {n}) = v (x_ {1}, ..., x_ {n})}$
• Multiplikativní: ${\ displaystyle u (x_ {1}, ..., x_ {n}) = [exp (R \ cdot v (x_ {1}, ..., x_ {n})) - 1] / [exp ( R) -1]}$

kde . ${\ displaystyle R \ neq 0}$

DŮKAZ: Stačí prokázat, že u má konstantní absolutní averzi k riziku vzhledem k hodnotě v .

• Předpoklad PI naznačuje, že hodnotová funkce je aditivní, tj .:${\ displaystyle n \ geq 3}$

${\ displaystyle v (x_ {1}, \ tečky, x_ {n}) = \ součet _ {i = 1} ^ {n} {\ lambda _ {i} v_ {i} (x_ {i})}}$

• Dovolit být dvě různé hodnoty pro atribut 1. Dovolit být jistota-ekvivalent loterie . Předpoklad uživatelského rozhraní znamená, že pro každou kombinaci hodnot ostatních atributů platí následující ekvivalence:${\ displaystyle x_ {1}, z_ {1}}$${\ displaystyle y_ {1}}$${\ displaystyle <x_ {1}: z_ {1}>}$${\ displaystyle (w_ {2}, \ tečky, w_ {n})}$

${\ displaystyle (y_ {1}, w) \ sim <(x_ {1}, w) :( z_ {1}, w)>}$

• Dva předchozí výroky naznačují, že pro každé w platí v hodnotovém prostoru následující ekvivalence:

${\ displaystyle \ lambda _ {1} v_ {1} (y_ {1}) + \ součet _ {i = 2} ^ {n} {\ lambda _ {i} v_ {i} (w_ {i})} \ sim <\ lambda _ {1} v_ {1} (x_ {1}) + \ sum _ {i = 2} ^ {n} {\ lambda _ {i} v_ {i} (w_ {i})} : \ lambda _ {1} v_ {1} (z_ {1}) + \ sum _ {i = 2} ^ {n} {\ lambda _ {i} v_ {i} (w_ {i})}>}$

• To znamená, že přidání libovolného množství na obě strany loterie (prostřednictvím termínu ) zvyšuje ekvivalent jistoty loterie o stejné množství.${\ displaystyle \ sum _ {i = 2} ^ {n} {\ lambda _ {i} v_ {i} (w_ {i})}}$
• Druhá skutečnost znamená stálou averzi k riziku.

Viz také

• Víceatributová aukce
• Vícecílová optimalizace
• Software pro rozhodování

Reference