Mnohostranná redukce - Many-one reduction

V teorii vyčíslitelnosti a výpočetní složitosti teorie , je snížení mnoho-jedna je redukce , který převádí případy jednoho rozhodovacím problému do instancí druhé rozhodovací problém, kde instance snížené, je v jazyce , pokud je počáteční instance byl v jeho jazyce a není v jazyce, pokud původní instance nebyla v jeho jazyce . Pokud tedy můžeme rozhodnout, zda jsou instance v jazyce , můžeme rozhodnout, zda jsou instance v jeho jazyce, použitím redukce a řešení . Redukce lze tedy použít k měření relativní výpočetní obtížnosti dvou problémů. Říká se, že se snižuje, pokud je to laicky řečeno těžší řešit než . To znamená, že jakýkoli algoritmus, který řeší, lze také použít jako součást (jinak relativně jednoduchého) programu, který řeší . ${\ displaystyle L_ {1}}$ ${\ displaystyle L_ {2}}$ ${\ displaystyle L_ {2}}$ ${\ displaystyle L_ {1}}$ ${\ displaystyle L_ {2}}$ ${\ displaystyle L_ {1}}$ ${\ displaystyle L_ {2}}$ ${\ displaystyle L_ {2}}$ ${\ displaystyle L_ {1}}$ ${\ displaystyle L_ {2}}$ ${\ displaystyle L_ {1}}$ ${\ displaystyle L_ {2}}$ ${\ displaystyle L_ {2}}$ ${\ displaystyle L_ {1}}$ ${\ displaystyle L_ {2}}$ ${\ displaystyle L_ {1}}$

Mnohostranné redukce jsou zvláštním případem a silnější formou Turingových redukcí . S redukcemi typu mnoho lze Oracle (tj. Naše řešení pro B) vyvolat na konci pouze jednou a odpověď nelze upravit. To znamená, že pokud chceme ukázat, že problém A lze snížit na problém B, můžeme použít naše řešení pro B pouze jednou v našem řešení pro A, na rozdíl od Turingovy redukce, kde můžeme použít naše řešení pro B tolikrát, kolikrát potřebné při řešení A.

To znamená, že redukce mnoho-jedna mapují instance jednoho problému na instance jiného, zatímco Turingovy redukce počítají řešení jednoho problému za předpokladu, že je snadné vyřešit druhý problém. Mnohopočetná redukce je efektivnější při rozdělení problémů do odlišných tříd složitosti. Zvýšená omezení redukcí typu one-one však ztěžují jejich hledání.

Mnohojeden redukce poprvé použil Emil Post v dokumentu publikovaném v roce 1944. Později Norman Shapiro použil stejný koncept v roce 1956 pod názvem silná redukovatelnost .

Definice

Formální jazyky

Předpokládejme, že a jsou formální jazyky nad abecedou a , v uvedeném pořadí. Snížení mnoho-jedna z k je celkem vypočitatelný funkce , která má tu vlastnost, že každé slovo je v právě tehdy, když je . ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ ${\ displaystyle \ Gamma}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle f: \ Sigma ^ {*} \ rightarrow \ Gamma ^ {*}}$ ${\ displaystyle w}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle f (w)}$ ${\ displaystyle B}$

Pokud taková funkce existuje, říkáme, že je mnohonásobně redukovatelná nebo m-redukovatelná na a zapisuje ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$

{\ displaystyle A \ leq _ {\ mathrm {m}} B.}

Pokud existuje injektivní redukční funkce jedna na jednu, říkáme, že A je 1-redukovatelná nebo jedna-jedna redukovatelná na a zapisuje ${\ displaystyle B}$

{\ displaystyle A \ leq _ {1} B.}

Podmnožiny přirozených čísel

Vzhledem k tomu , že máme dvě množiny, říkáme, že je redukovatelná na jeden a na zápis ${\ displaystyle A, B \ subseteq \ mathbb {N}}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$

{\ displaystyle A \ leq _ {\ mathrm {m}} B}

pokud existuje celková vypočítatelná funkce s Pokud je navíc injektivní, říkáme, že je 1-redukovatelná na a zapisuje ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle A = f ^ {- 1} (B).}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$

{\ displaystyle A \ leq _ {1} B.}

Mnoho-jedna ekvivalence a 1-ekvivalence

Říkáme - li , že je mnoho-jeden ekvivalent nebo m-ekvivalent k a psát ${\ displaystyle A \ leq _ {\ mathrm {m}} B \, \ mathrm {a} \, B \ leq _ {\ mathrm {m}} A}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$

{\ displaystyle A \ equiv _ {\ mathrm {m}} B.}

Pokud řekneme, je 1-ekvivalent k a psát ${\ displaystyle A \ leq _ {1} B \, \ mathrm {and} \, B \ leq _ {1} A}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$

{\ displaystyle A \ equiv _ {1} B.}

Mnoho-jedna úplnost (m-úplnost)

Sada se nazývá many-one complete , nebo jednoduše m-complete , iff je rekurzivně vyčíslitelná a každá rekurzivně vyčíslitelná sada je m-redukovatelná . ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$

Mnoho redukcí s omezeními zdrojů

Mnohopočetné redukce často podléhají omezením zdrojů, například že redukční funkce je vypočítatelná v polynomiálním čase, logaritmickém prostoru, pomocí nebo obvodech, nebo polylogaritmické projekce, kde je každá následující redukční představa slabší než předchozí; podrobnosti viz redukce polynomiálního času a zmenšení log prostoru . ${\ displaystyle AC_ {0}}$ ${\ displaystyle NC_ {0}}$

Vzhledem k tomu, rozhodovací problémy a a skutečně algoritmus, N , která řeší případy , můžeme použít mnoho-jedna redukce z k řešení případů v tomto jazyce: ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle A}$

čas potřebný pro N plus čas potřebný pro redukci
maximální prostor potřebný pro N a prostor potřebný pro redukci

Říkáme, že třída C jazyků (nebo podmnožina elektrického souboru přirozených čísel) je uzavřena na mnoho-jedna redukovatelnost pokud neexistuje žádná snížení z jazyka C do jazyku mimo C . Pokud je třída uzavřena pod redukovatelností mnoho-jedna, lze redukci jedna-jedna použít k ukázání, že problém je v C redukcí problému v C na něj. Mnohojeden redukce jsou cenné, protože většina dobře studovaných tříd složitosti je uzavřena pod určitým typem mnohostranné redukovatelnosti, včetně P , NP , L , NL , co-NP , PSPACE , EXP a mnoha dalších. Je například známo, že první čtyři uvedené jsou uzavřeny až do velmi slabé redukční představy o polylogaritmických časových projekcích. Tyto třídy však nejsou uzavřeny na základě libovolných redukcí typu jedna.

Vlastnosti

Tyto vztahy mnohých-onu a 1-redukovatelnost redukovatelnost jsou tranzitivní a reflexivní a tak indukují preorder na POWERSET přirozených čísel.
${\ displaystyle A \ leq _ {\ mathrm {m}} B}$ kdyby a jen kdyby ${\ displaystyle \ mathbb {N} \ setminus A \ leq _ {\ mathrm {m}} \ mathbb {N} \ setminus B.}$
Sada je více než jedna redukovatelná na problém zastavení právě tehdy, když je rekurzivně vyčíslitelná . To říká, že pokud jde o redukovatelnost více, problém zastavení je nejkomplikovanější ze všech rekurzivně vyčíslitelných problémů. Problém zastavení je tedy opět kompletní. Všimněte si, že to není jediný úplný problém.
Specializovaný problém zastavení pro jednotlivý Turingův stroj T (tj. Sada vstupů, pro které se T nakonec zastaví) je mnoho-jeden úplný, pokud T je univerzální Turingův stroj . Emil Post ukázal, že existují rekurzivně vyčíslitelné množiny, které nejsou ani rozhodnutelné, ani m-úplné, a proto existují neuniverzální Turingovy stroje, jejichž jednotlivé problémy se zastavením jsou přesto nerozhodnutelné .

Languages

In other projects