Lineární arboricita - Linear arboricity

Rozdělení grafu kosočtverečného dodekaedru do dvou lineárních lesů , které ukazuje, že jeho lineární arboricita je dvě

V teorii grafů , odvětví matematiky je lineární arboricity z undirected grafu je nejmenší počet lineárních lesů jeho okraje může být rozdělena do. Lineární les je zde acyklický graf s maximálním stupněm dva; to znamená, že je disjunktní sjednocení z grafů cesty . Lineární arboricita je varianta arboricity , což je minimální počet lesů, do kterých lze rozdělit okraje.

Je známo, že lineární arboricita jakéhokoli grafu maximálního stupně je alespoň a předpokládá se, že je nanejvýš . Tato domněnka by určila lineární arboricitu přesně pro grafy lichého stupně, protože v takovém případě jsou oba výrazy stejné. Pro grafy sudého stupně by to znamenalo, že lineární arboricita musí být jednou z pouhých dvou možných hodnot, ale určení přesné hodnoty mezi těmito dvěma možnostmi je NP-úplné . ${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ lceil \ Delta / 2 \ rceil}$${\ displaystyle \ lceil (\ Delta +1) / 2 \ rceil}$

Vztah k titulu

Lineární arboricita grafu s maximálním stupněm je vždy minimálně , protože každý lineární les může používat pouze dva z okrajů ve vrcholu maximálního stupně. Lineární arboricity domněnka o Akiyamou, Exoo & Harary (1981) je to, že tato dolní mez , je také pevně: vzhledem k dohadu, každý graf má lineární arboricity nejvýše . To však zůstává neprokázané, přičemž osvědčená horní hranice lineární arboricity je poněkud větší, pro některé konstantní kvůli Ferberovi, Foxovi a Jainovi. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ lceil \ Delta / 2 \ rceil}$${\ displaystyle \ lceil (\ Delta +1) / 2 \ rceil}$${\ displaystyle \ Delta / 2 + O (\ Delta ^ {2/3-c})}$${\ displaystyle c> 0}$

Aby se lineární arboricita grafu rovnala , musí být sudá a každý lineární les musí mít dva okraje dopadající na každý vrchol stupně . Ale na vrcholu, který je na konci cesty, má les obsahující tuto cestu pouze jednu hranu dopadu, takže stupeň v tomto vrcholu se nemůže rovnat . Graf, jehož lineární arboricita se rovná, tedy musí mít některé vrcholy, jejichž stupeň je menší než maximální. V běžném grafu nejsou žádné takové vrcholy a lineární arboricita se nemůže rovnat . Proto u pravidelných grafů domněnka lineární arboricity znamená, že lineární arboricita je přesně . ${\ displaystyle \ Delta / 2}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ Delta / 2}$${\ displaystyle \ Delta / 2}$${\ displaystyle \ lceil (\ Delta +1) / 2 \ rceil}$

Související problémy

Lineární arboricita je variace arboricity , což je minimální počet lesů, do kterých lze rozdělit okraje grafu. Vědci také studovali lineární k- arboricitu, variantu lineární arboricity, ve které každá cesta v lineárním lese může mít maximálně k hran.

Dalším souvisejícím problémem je Hamiltonovský rozklad , problém rozkladu pravidelného grafu rovnoměrného stupně na přesně Hamiltonovské cykly . Daný graf má hamiltonovský rozklad právě tehdy, když podgraf vytvořený odstraněním libovolného vrcholu z grafu má lineární arboricitu . ${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ Delta / 2}$ ${\ displaystyle \ Delta / 2}$

Výpočetní složitost

Na rozdíl od arboricity, kterou lze určit v polynomiálním čase , je lineární arboricita NP-tvrdá . Dokonce i rozpoznávání grafů lineární arboricity dva je NP-úplné . U kubických grafů a dalších grafů s maximálním stupněm tři je však lineární arboricita vždy dvě a rozklad na dva lineární lesy lze v lineárním čase najít pomocí algoritmu založeného na hledání podle hloubky .

Reference