Kayles - Kayles

Řada bowlingových kolíků. Ve svém tahu se hráč může rozhodnout eliminovat jeden nebo dva sousední kolíky.

Kayles je jednoduchá nestranná hra v kombinatorické teorii her , kterou vynalezl Henry Dudeney v roce 1908. Vzhledem k řadě domnělých bowlingových kolků se hráči střídají, aby vyřadili jeden kolík nebo dva sousední kolíky, dokud všechny kolíky nezmizí. Pomocí zápisu osmičkových her je Kayles označen jako 0,77 .

Pravidla

Kayles se hraje s řadou žetonů, které představují kuželky. Řádek může mít libovolnou délku. Oba hráči se střídají; každý hráč může na svém tahu odstranit buď kterýkoli kolík (míč udeřený přímo na tomto kolíku), nebo dva sousední kolíky (míč udeřený, aby zasáhl oba). Podle běžné konvence hry hráč prohraje, když nemá žádný legální tah (tj. Když jsou všechny piny pryč). Hru lze také hrát pomocí pravidel Misère ; v takovém případě vyhrává hráč, který se nemůže hýbat .

Dějiny

Kayles vynalezl Henry Dudeney . Richard Guy a Cedric Smith jako první úplně analyzovali verzi normální hry pomocí teorie Sprague-Grundy . Verze Misère byla analyzována Williamem Sibertem v roce 1973, ale svou práci publikoval až v roce 1989.

Jméno „Kayles“ je anglicizací francouzských quilles , což znamená „bowling“.

Analýza

Většina hráčů rychle zjistí, že první hráč má zaručenou výhru v normálních Kayles, kdykoli je délka řady větší než nula. Této výhry lze dosáhnout pomocí strategie symetrie . Při svém prvním tahu by se měl první hráč pohnout tak, aby byla řada rozdělena na dvě stejně dlouhé úseky. To omezuje všechny budoucí pohyby na jednu nebo druhou část. První hráč nyní pouze napodobuje pohyby druhého hráče v opačné řadě.

Je zajímavější se zeptat, co je nim-hodnota v řadě délky . Toto je často označováno ; je to svižník , ne číslo . U krys Sprague-Grundy teorém , je MEX přes všechny možné pohyby v NIM součtu z NIM hodnoty ze dvou výsledných částí. Například, ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle K_ {n}}$ ${\ displaystyle K_ {n}}$

{\ displaystyle K_ {5} = {\ mbox {mex}} \ {K_ {0} + K_ {4}, K_ {1} + K_ {3}, K_ {2} + K_ {2}, K_ {0 } + K_ {3}, K_ {1} + K_ {2} \}, \,}

protože z řady o délce 5 se lze pohybovat do pozic

{\ displaystyle K_ {0} + K_ {4}, \ quad K_ {1} + K_ {3}, \ quad K_ {2} + K_ {2}, \ quad K_ {0} + K_ {3}, { \ text {and}} K_ {1} + K_ {2}. \,}

Rekurzivní výpočet hodnot (počínaje ) poskytuje výsledky shrnuté v následující tabulce. Chcete-li zjistit hodnotu tabulky, napište jako a podívejte se na řádek a, sloupec b: ${\ displaystyle K_ {0} = 0}$ ${\ displaystyle K_ {n}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle 12a + b}$

Kayles nim hodnotami ${\ displaystyle K_ {83}}$
${\ displaystyle K_ {n}}$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
0+	0	1	2	3	1	4	3	2	1	4	2	6
12+	4	1	2	7	1	4	3	2	1	4	6	7
24+	4	1	2	8	5	4	7	2	1	8	6	7
36+	4	1	2	3	1	4	7	2	1	8	2	7
48+	4	1	2	8	1	4	7	2	1	4	2	7
60+	4	1	2	8	1	4	7	2	1	8	6	7
72+	4	1	2	8	1	4	7	2	1	8	2	7

V tomto okamžiku se sekvence nim-hodnota stává periodickou s periodou 12, takže všechny další řádky tabulky jsou identické s posledním řádkem.

Aplikace

Protože určité pozice v bodech a krabicích se snižují na pozice Kayles, je užitečné porozumět Kaylesovi, aby bylo možné analyzovat obecnou pozici bodů a krabic.

Výpočetní složitost

Při normální hře může být Kayles vyřešen v polynomiálním čase pomocí Sprague-Grundyho teorie.

Node Kayles je zobecněním Kayles na grafy, ve kterých každá mísa „srazí“ (odstraní) požadovaný vrchol a všechny jeho sousední vrcholy. (Alternativně lze na tuto hru pohlížet jako na dva hráče, kteří společně hledají nezávislou sadu .) Schaefer (1978) dokázal, že rozhodování o výsledku této hry je PSPACE-úplné . Stejný výsledek platí pro partyzánskou verzi uzlu Kayles, ve kterém si pro každý uzel může pouze jeden z hráčů vybrat ten konkrétní uzel jako srazit cíl.

Viz také

Reference

^ Dudeney, HE (2002), The Canterbury puzzles , Dover, str. 118–119, hádanka 73, ISBN 0-486-42558-4. Původně publikováno v roce 1908.
^ Conway, John H. o číslech a hrách. Academic Press, 1976.
^ ^a ^b R. K. Guy a CAB Smith, G -hodnoty různých her, Proc. Cambridge Philos. Soc., 52 (1956) 514–526.
^ TE Plambeck, Sedmikrásky, Kayles a Sibert-Conway rozkladu v Misere osmičkové hry archivována 2010-07-14 na Wayback Machine , Theoret. Comput. Sci (Matematické hry) (1992) 96361–388.
^ ^a ^b Plambeck, Thane, Kayles , archivovány od originálu na 2008-10-12 , vyvolány 2008-08-15
^ E. Berlekamp , JH Conway , R. Guy. Vítězné způsoby pro vaše matematické hry . Academic Press, 1982.
^ Schaefer, Thomas J. (1978). „O složitosti některých her pro dvě osoby s dokonalými informacemi“ . Journal of Computer and System Sciences . 16 (2): 185–225. doi : 10.1016 / 0022-0000 (78) 90045-4 .

[1] Dudeney, HE (2002), The Canterbury puzzles , Dover, str. 118–119, hádanka 73, ISBN 0-486-42558-4. Původně publikováno v roce 1908.

[onag-2] Conway, John H. o číslech a hrách. Academic Press, 1976.

[guy-smith-3] R. K. Guy a CAB Smith, G -hodnoty různých her, Proc. Cambridge Philos. Soc., 52 (1956) 514–526.

[plambeck-4] TE Plambeck, Sedmikrásky, Kayles a Sibert-Conway rozkladu v Misere osmičkové hry archivována 2010-07-14 na Wayback Machine , Theoret. Comput. Sci (Matematické hry) (1992) 96361–388.

[plambeck2-5] Plambeck, Thane, Kayles , archivovány od originálu na 2008-10-12 , vyvolány 2008-08-15

[ww-6] E. Berlekamp , JH Conway , R. Guy. Vítězné způsoby pro vaše matematické hry . Academic Press, 1982.

[7] Schaefer, Thomas J. (1978). „O složitosti některých her pro dvě osoby s dokonalými informacemi“ . Journal of Computer and System Sciences . 16 (2): 185–225. doi : 10.1016 / 0022-0000 (78) 90045-4 .

Languages

In other projects