Žonglérská sekvence - Juggler sequence

V teorii čísel , je žonglér sekvence je celé číslo sekvence , která začíná s kladné celé číslo, a ₀ , s každým následujícím období v sekvenci definované v souvislosti opakování :

$${\ Displaystyle a_ {k+1} = {\ begin {cases} \ left \ lfloor a_ {k}^{\ frac {1} {2}} \ right \ rfloor, & {\ text {if}} a_ { k} {\ text {je sudý}} \\\\\ left \ lfloor a_ {k}^{\ frac {3} {2}} \ right \ rfloor, & {\ text {if}} a_ {k} {\ text {je zvláštní}}. \ end {cases}}}$$

Pozadí

Sekvence žonglérů byly propagovány americkým matematikem a autorem Cliffordem A. Pickoverem . Název je odvozen od stoupající a klesající povahy sekvencí, jako koule v rukou kejklíře .

Například žonglér sekvence začínající dobu ₀ = 3

${\ Displaystyle a_ {1} = \ lfloor 3^{\ frac {3} {2}} \ rfloor = \ lfloor 5.196 \ dots \ rfloor = 5,}$

${\ Displaystyle a_ {2} = \ lfloor 5^{\ frac {3} {2}} \ rfloor = \ lfloor 11,180 \ dots \ rfloor = 11,}$

${\ Displaystyle a_ {3} = \ lfloor 11^{\ frac {3} {2}} \ rfloor = \ lfloor 36,482 \ dots \ rfloor = 36,}$

${\ Displaystyle a_ {4} = \ lfloor 36^{\ frac {1} {2}} \ rfloor = \ lfloor 6 \ rfloor = 6,}$

${\ Displaystyle a_ {5} = \ lfloor 6^{\ frac {1} {2}} \ rfloor = \ lfloor 2,449 \ dots \ rfloor = 2,}$

${\ Displaystyle a_ {6} = \ lfloor 2^{\ frac {1} {2}} \ rfloor = \ lfloor 1,414 \ dots \ rfloor = 1.}$

Pokud žonglér sekvence dosáhne 1, pak všechny následující podmínky jsou shodné s 1. To je se domníval, že všechny sekvence žonglér nakonec dosáhne 1. Tato domněnka byl ověřen pro počáteční podmínek do 10 ⁶ , ale nebyla prokázána. Žonglérské sekvence proto představují problém, který je podobný Collatzově domněnce , o níž Paul Erdős uvedl, že „matematika na takové problémy ještě není připravena“.

Pro daný počáteční termín n definujeme l ( n ) jako počet kroků, které žonglérská sekvence začínající na n potřebuje k prvnímu dosažení 1, a h ( n ) je maximální hodnota v žonglérské sekvenci začínající na n . Pro malé hodnoty n máme:

n	Žonglérská sekvence	l ( n ) (sekvence A007320 v OEIS )	h ( n ) (sekvence A094716 v OEIS )
2	2, 1	1	2
3	3, 5, 11, 36, 6, 2, 1	6	36
4	4, 2, 1	2	4
5	5, 11, 36, 6, 2, 1	5	36
6	6, 2, 1	2	6
7	7, 18, 4, 2, 1	4	18
8	8, 2, 1	2	8
9	9, 27, 140, 11, 36, 6, 2, 1	7	140
10	10, 3, 5, 11, 36, 6, 2, 1	7	36

Žonglér sekvence může dosáhnout velmi velké hodnoty před sestupem do 1. Například je žonglér sekvence začíná v několika ₀ = 37 dosahuje maximální hodnoty 24906114455136. Harry J. Smith stanovil, že žonglér sekvence začíná v několika ₀ = 48443 dosahuje maxima hodnota při několika ₆₀ s 972.463 číslicemi, před dosažením 1 u a ₁₅₇ .

Viz také

• Aritmetická dynamika
• Collatzova domněnka
• Vztah opakování

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Žonglérská sekvence“ . MathWorld .
• Žonglérská sekvence (A094683) v on-line encyklopedii celočíselných sekvencí . Viz také:
  • Počet kroků potřebných pro kejklířskou sekvenci (A094683) začal v n, aby dosáhl 1.
  • n nastavuje nový rekord v počtu iterací, aby dosáhl 1 v problému se sekvencí kejklíře.
  • Počet kroků, ve kterých žonglérská sekvence dosáhne nového rekordu.
  • Nejmenší číslo, které vyžaduje n iterací k dosažení 1 v problému se sekvencí kejklíře.
  • Počáteční hodnoty, které produkují větší počet žonglérů než menší počáteční hodnoty.
• Kalkulátor kejklířské sekvence v Collatz Conjecture Calculation Center
• Kejklíř Počet stránek od Harryho J. Smitha