Iterovaná binární operace - Iterated binary operation

V matematice je iterovaná binární operace rozšířením binární operace na množině S o funkci na konečných sekvencích prvků S prostřednictvím opakované aplikace. Mezi běžné příklady patří rozšíření operace přidání do operace součtu a rozšíření operace násobení na operaci produktu . Ostatní operace, například sada teoretická operace sjednocení a průnik , jsou také často opakována , ale iterace nejsou dány zvláštní jména. V tisku jsou součet a součin reprezentovány speciálními symboly; ale jiné iterované operátory jsou často označovány většími variantami symbolu pro běžný binární operátor. Proto jsou označeny iterace čtyř výše zmíněných operací

{\ displaystyle \ sum, \ \ prod, \ \ bigcup,}

a příslušně.

{\ displaystyle \ bigcap}

Obecněji řečeno, iterace binární funkce je obecně označena lomítkem: iterace nad posloupností je označena podle notace pro redukci ve Bird – Meertensově formalismu . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle (a_ {1}, a_ {2} \ ldots, a_ {n})}$ ${\ displaystyle f / (a_ {1}, a_ {2} \ ldots, a_ {n})}$

Obecně existuje více než jeden způsob, jak rozšířit binární operaci tak, aby fungovala na konečných sekvencích, v závislosti na tom, zda je operátor asociativní a zda má operátor prvky identity .

Definice

Označme a _{j , k} , s j ≥ 0 ak k ≥ j , konečná posloupnost délky k - j prvků S , s členy ( a _i ), pro j ≤ i < k . Všimněte si, že pokud k = j , sekvence je prázdná.

Pro f : S x S , definovat nové funkce F _l na konečných neprázdné sekvence prvků S , kde

{\ displaystyle F_ {l} (\ mathbf {a} _ {0, k}) = {\ begin {cases} a_ {0}, & k = 1 \\ f (F_ {l} (\ mathbf {a} _ {0, k-1}), a_ {k-1}), a k> 1. \ end {cases}}}

Podobně definujte

{\ displaystyle F_ {r} (\ mathbf {a} _ {0, k}) = {\ begin {cases} a_ {0}, & k = 1 \\ f (a_ {0}, F_ {r} (\ mathbf {a} _ {1, k})), & k> 1. \ end {cases}}}

Pokud f má jedinečnou levé identity e , definice F _l může být upraven pro provoz na prázdných sekvencí tím, že definuje hodnotu F _l na prázdnou sekvenci být e (předchozí referenční případ, z sekvencí o délce 1 stane nadbytečným). Podobně, F _r může být upraven pro provoz na prázdných sekvencí, pokud f má jedinečnou pravou identitu.

Jestliže f je asociativní, pak F _l rovná F _r a můžeme jednoduše psát F . Navíc, pokud existuje prvek identity e , pak je jedinečný (viz Monoid ).

Pokud f je komutativní a asociativní, pak F mohou pracovat na jakémkoli neprázdný konečné multiset aplikováním do libovolný výčet multiset. Pokud f navíc má prvek identity e , pak je to definováno jako hodnota F na prázdné multiset. Pokud je f idempotentní, lze výše uvedené definice rozšířit na konečné množiny .

Pokud je S také vybaven metrikou nebo obecněji topologií, která je Hausdorff , takže koncept limitu posloupnosti je definován v S , pak je nekonečná iterace spočítatelné posloupnosti v S definována přesně, když je odpovídající posloupnost konečné iterace konvergují. Tedy např. Je- li ₀ , a ₁ , a ₂ , a ₃ ,… nekonečná posloupnost reálných čísel , pak je definován nekonečný součin, který je roven tehdy a jen tehdy, pokud tento limit existuje. ${\ textstyle \ prod _ {i = 0} ^ {\ infty} a_ {i}}$ ${\ textstyle \ lim \ limity _ {n \ až \ infty} \ prod _ {i = 0} ^ {n} a_ {i},}$

Neasociativní binární operace

Obecná, neasociativní binární operace je dána magmatem . Akt iterace na neasociativní binární operaci může být reprezentován jako binární strom .

Zápis

Iterované binární operace se používají k reprezentaci operace, která se bude opakovat nad množinou s výhradou určitých omezení. Dolní hranice omezení je obvykle zapsána pod symbol a horní hranice nad symbol, ačkoli mohou být také zapsány jako horní a dolní indexy v kompaktní notaci. Interpolace se provádí přes kladná celá čísla od dolní po horní mez, aby se vytvořila množina, která bude nahrazena do indexu (níže označeného jako i ) pro opakované operace. Je možné určit členství v sadě nebo jiná logická omezení místo explicitních indexů, aby se implicitně určilo, které prvky sady se mají použít.

Běžné notace zahrnují velké S igma ( opakované s um ) a velké P i ( opakované p roductové ) notace.

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} i = 0 + 1 + 2 + \ tečky + (n-1)}

{\ displaystyle \ prod _ {i = 0} ^ {n-1} i = 0 \ krát 1 \ krát 2 \ krát \ tečky \ krát (n-1)}

I když lze použít binární operátory, včetně, ale bez omezení, na exkluzivní nebo a sjednocené sjednocení .

Nechť S je množina množin

{\ displaystyle \ bigcup _ {s \ in S} s_ {i} = s_ {1} \ pohár s_ {2} \ pohár \ tečky \ pohár s_ {N}.}

Nechť S je množina logických výroků

{\ displaystyle \ bigoplus _ {s \ in S} s_ {i} = s_ {1} \ oplus s_ {2} \ oplus \ dots \ oplus s_ {N}.}

Nechť S je množina multivektorů v Cliffordově algebře / geometrické algebře

{\ displaystyle \ bigwedge _ {s \ in S} s_ {i} = s_ {1} \ klín s_ {2} \ klín \ tečky \ klín s_ {N},}

{\ displaystyle \ prod _ {s \ in S} s_ {i} = s_ {1} s_ {2} \ tečky s_ {N}.}

Poznámka jak ve výše, není stanovena horní hranice se používá, protože stačí, aby vyjádřit, že prvky jsou prvky množiny S . ${\ displaystyle s_ {i}}$

Je to také k vytvoření opakované operace s daným počtem omezení spojených spojkou (a) , například:

{\ displaystyle \ sum _ {(i \ ve 2 \ mathbb {N}) \ klín (i \ leq n)} i = 0 + 2 + 4 + \ tečky + n,}

které lze také označit

{\ displaystyle \ sum _ {\ stackrel {i \ in 2 \ mathbb {N}} {i \ leq n}} i = 0 + 2 + 4 + \ tečky + n.}

Viz také

Reference

^ Saunders MacLane (1971). Kategorie pro Working Mathematician . New York: Springer-Verlag. p. 142. ISBN 0387900357.
^ Weisstein, Eric W. „Unie“ . mathworld.wolfram.com . Wolfram Mathworld . Citováno 30. ledna 2018 .

externí odkazy

[IBO1-1] Saunders MacLane (1971). Kategorie pro Working Mathematician . New York: Springer-Verlag. p. 142. ISBN 0387900357.

[2] Weisstein, Eric W. „Unie“ . mathworld.wolfram.com . Wolfram Mathworld . Citováno 30. ledna 2018 .

Languages

In other projects