Hermitův problém - Hermite's problem

Hermiteův problémem je otevřený problém v matematice , které představuje Charlese Hermite v roce 1848. Požádal o způsob vyjadřování reálných čísel jako sekvence z přirozených čísel , tak, že sekvence je nakonec periodická právě tehdy, když je původní číslo krychlový iracionální .

Motivace

Standardní způsob zápisu reálných čísel je pomocí jejich desetinného vyjádření , například:

${\ displaystyle x = a_ {0} .a_ {1} a_ {2} a_ {3} \ ldots \}$

kde ₀ je celé číslo je celá část z x a ₁ , ₂ , ₃ , ... jsou celá čísla mezi 0 a 9. Vzhledem k tomu, jejichž zastoupení je počet x je rovno

${\ displaystyle x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n}} {10 ^ {n}}}.}$

Skutečné číslo x je racionální číslo, pouze pokud je jeho desetinná expanze nakonec periodická, to znamená, že existují přirozená čísla N a p taková, že pro každé n  ≥  N platí, že a _{n + p}  =  a _n .

Dalším způsobem, jak vyjádřit čísla, je zapsat je jako zlomky , jako v:

${\ displaystyle x = [a_ {0}; a_ {1}, a_ {2}, a_ {3}, \ ldots], \}$

kde ₀ je celé číslo a ₁ , ₂ , ₃ ... jsou přirozená čísla. Z této reprezentace můžeme od té doby obnovit x

${\ displaystyle x = a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} {a_ {2} + {\ cfrac {1} {a_ {3} + \ ddots}} }}}}.}$

Pokud je x racionální číslo, sekvence ( a _n ) končí po konečně mnoha termínech. Na druhou stranu Euler dokázal, že iracionální čísla vyžadují nekonečnou posloupnost, aby byla vyjádřena jako pokračující zlomky. Navíc je tato posloupnost nakonec periodická (opět, aby existovala přirozená čísla N a p taková, že pro každé n  ≥  N máme a _{n + p}  =  a _n ), právě tehdy, když x je kvadratická iracionální .

Hermitova otázka

Racionální čísla jsou algebraická čísla, která uspokojí polynom stupně 1, zatímco kvadratické iracionály jsou algebraická čísla, která uspokojí polynom stupně 2. Pro obě tyto množiny čísel máme způsob, jak sestrojit posloupnost přirozených čísel ( a _n ) s vlastnost, že každá sekvence dává jedinečné reálné číslo a takové, že toto reálné číslo patří do odpovídající množiny právě tehdy, pokud je posloupnost nakonec periodická.

V roce 1848 napsal Charles Hermite dopis Carlu Gustavovi Jacobovi Jacobimu s dotazem, zda by bylo možné tuto situaci zobecnit, to znamená, že lze každému reálnému číslu x přiřadit posloupnost přirozených čísel tak, že posloupnost je nakonec periodická přesně tehdy, když x je kubický iracionální, to je algebraické číslo stupně 3? Nebo obecněji pro každé přirozené číslo d existuje způsob, jak každému reálnému číslu x přiřadit posloupnost přirozených čísel, které lze určit, když x je algebraické ve stupni d ?

Přístupy

Sekvence, které se pokoušejí vyřešit Hermitův problém, se často nazývají multidimenzionální pokračující zlomky . Sám Jacobi přišel s časným příkladem a našel sekvenci odpovídající každé dvojici reálných čísel ( x ,  y ), která fungovala jako trojrozměrný analog pokračujících zlomků. Doufal, že ukáže, že posloupnost připojená k ( x ,  y ) byla nakonec periodická právě tehdy, když obě x a y patřily do pole kubického čísla , ale nebyl schopen to udělat a zda tomu tak je, zůstává nevyřešen.

V roce 2015 bylo poprvé poskytnuto periodické znázornění pro jakoukoli kubickou iracionálnost pomocí ternárních pokračujících zlomků, tj. Byl vyřešen problém psaní kubických iracionálů jako periodické posloupnosti racionálních nebo celých čísel. Periodická reprezentace však není odvozena z algoritmu definovaného na všech reálných číslech a je odvozena až od znalosti minimálního polynomu kubické iracionality.

Spíše než zobecňovat pokračující zlomky, dalším přístupem k problému je zobecnit Minkowského funkci otazníku . Tato funkce? : [0, 1] → [0, 1] také vybírá kvadratická iracionální čísla, protože? ( X ) je racionální právě tehdy, když x je buď racionální nebo kvadratické iracionální číslo, a navíc x je racionální právě tehdy, když? ( x ) je dyadické racionální , tedy x je kvadratické iracionální přesně tehdy, když? ( x ) je nedyadické racionální číslo. Byly provedeny různé zobecnění této funkce buď na jednotku čtverce [0, 1] × [0, 1], nebo na dvourozměrný simplex , ačkoli žádný dosud nevyřešil Hermitův problém.

Reference