Problém trojúhelníku Heilbronn - Heilbronn triangle problem

Řešení úlohy trojúhelníku Heilbronn pro šest bodů na jednotkovém čtverci. Tyto body tvoří trojúhelníky čtyř různých tvarů, s minimální plochou 1/8, co největší pro šest bodů ve čtverci. Toto řešení je afinní zobrazení z pravidelného šestiúhelníku , ale větší počet bodů mají řešení, které zahrnují vnitřní body čtverce.

V diskrétní geometrii a teorie nesrovnalosti je trojúhelník problém Heilbronn je problém umístění bodů v oblasti v rovině, aby se zabránilo trojúhelníky malého prostoru . To je pojmenované po Hans Heilbronnu , který tušené před rokem 1950, že tato nejmenší trojúhelník oblast je vždy nanejvýš nepřímo úměrný ke čtverci počtu bodů. Heilbronnovy dohady se ukázaly jako nepravdivé, ale míra asymptotického růstu minimální plochy trojúhelníku zůstává neznámá.

Definice

Problém může být definován z hlediska jakékoli kompaktní sady D v rovině s nenulovou oblastí, jako je čtverec jednotky nebo disk jednotky . Pokud S je množina n bodů D , pak každé tři body S určují trojúhelník (případně degenerovaný s nulovou oblastí). Nechť Δ ( S ) označuje minimum oblastí těchto trojúhelníků a nechť Δ ( n ) (pro celé číslo n  ≥ 3) označuje supremum hodnot Δ ( S ).

Otázkou položenou Heilbronnem bylo poskytnout výraz, nebo odpovídající asymptotické horní a dolní hranici , pro A ( n ). To znamená, že cílem je najít funkci f popsanou výrazem v uzavřené formě a konstanty c ₁ a c _{2 tak} , aby pro všechna n byla

${\ Displaystyle c_ {1} f (n) \ leq \ Delta (n) \ leq c_ {2} f (n)}$.

Pokud jde o velkou notaci O , levá nerovnost může být zapsána jako Δ ( n ) = Ω ( f ( n )), pravá nerovnost může být zapsána jako Δ ( n ) =  O ( f ( n )) a obě společně je lze zapsat jako Δ ( n ) = Θ ( f ( n )). Tvar a plocha D mohou ovlivnit přesné hodnoty Δ ( n ), ale pouze konstantním faktorem, takže nejsou důležité pro jeho asymptotickou rychlost růstu.

Heilbronnovy dohady a konstrukce s nižšími mezemi

Heilbronn to předpokládal

${\ Displaystyle \ Delta (n) = O \ left ({\ frac {1} {n^{2}}} \ right).}$

Jako Paul Erdős ukázalo, není menší mez je možné: když n je prvočíslo , soubor n bodů ( i ,  i ²  mod  n ) na n  x  n celé číslo sítě mít žádné tři kolineární body , a proto podle vzorce Pickova každého z trojúhelníků, které tvoří, má plochu alespoň 1/2. Když je tato sada bodů mřížky zmenšena na jednotkový čtverec, tvoří sadu bodů, jejichž nejmenší plocha trojúhelníku je alespoň úměrná 1/ n ² , což odpovídá Heilbronnově domnělé horní hranici. Pokud n není prvočíslo, pak podobná konstrukce s použitím dalšího prvočísla většího než n dosáhne stejné asymptotické dolní hranice.

Komlós, Pintz a Szemerédi (1982) nakonec vyvrátili Heilbronnovu domněnku nalezením bodů, jejichž nejmenší plocha trojúhelníku roste asymptoticky jako

${\ Displaystyle \ Delta (n) = \ Omega \ left ({\ frac {\ log n} {n^{2}}} \ right).}$

Horní hranice

Triviálně, a to buď triangulace na konvexní trup daného bodu množiny S nebo výběrem po sobě jdoucích trojice bodů v tříděném pořadí jejich x -coordinates, je možno ukázat, že každý bod sada obsahuje malý trojúhelník, jehož plocha je maximálně nepřímo úměrné  n . Roth (1951) byl první, kdo dokázal netriviální horní hranici na Δ ( n ), formy

${\ Displaystyle \ Delta (n) = O \ left ({\ frac {1} {n {\ sqrt {\ log \ log n}}}} \ right).}$

Dosud nejlépe známá vazba je ve formě

${\ Displaystyle \ Delta (n) \ leq {\ frac {\ exp {\ left (c {\ sqrt {\ log n}} \ right)}} {n^{8/7}}},}$

pro nějakou konstantu c , prokázáno Komlósem, Pintzem a Szemerédi (1981) .

Konkrétní tvary a čísla

Goldberg (1972) zkoumal optimální uspořádání n bodů ve čtverci, pro n až 16. Goldbergovy konstrukce až pro šest bodů leží na hranici čtverce a jsou umístěny tak, aby vytvářely afinní transformaci vrcholů a pravidelný mnohoúhelník . Pro větší hodnoty n , Comellas & Yebra (2002) zlepšil Goldberg je hranice, a pro tyto hodnoty řešení zahrnují body interiér na náměstí. Tyto konstrukce se ukázaly jako optimální až pro sedm bodů.

Variace

Existuje mnoho variant tohoto problému, včetně případu rovnoměrně náhodné sady bodů, u nichž argumenty založené buď na Kolmogorovově složitosti, nebo na Poissonově aproximaci ukazují, že očekávaná hodnota minimální plochy je nepřímo úměrná krychli počtu bodů . Byly také studovány variace zahrnující objem vyšších dimenzionálních zjednodušení .

Viz také

• Danzerova množina bodů, která se vyhýbá prázdným trojúhelníkům velké plochy

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Problém trojúhelníku Heilbronn“ . MathWorld .
• Erichovo balicí centrum od Ericha Friedmana, včetně nejznámějších řešení problému Heilbronn pro malé hodnoty n pro čtverce, kruhy, rovnostranné trojúhelníky a konvexní oblasti proměnného tvaru, ale pevné oblasti