Nejméně pevný bod - Least fixed point

Funkce f ( x ) =  x ²  - 4 má dva pevné body, které se zobrazují jako průsečík s modrou čarou; jeho alespoň jedna je na 1/2 -  √ 17 /2.

V teorii objednávky , pobočka matematiky , na alespoň pevný bod ( LFP nebo LFP , někdy také nejmenší pevný bod ), o funkce z uspořádaná množina na sobě je pevný bod , což je méně než jeden na druhém pevném bodě, v závislosti na pořadí poset. Funkce nemusí mít nejméně pevný bod, ale pokud ano, je nejméně pevný bod jedinečný.

Například se obvyklým pořadí na reálná čísla , nejméně pevný bod na reálné funkce f ( x ) = x ² je x = 0 (protože jediná další pevný bod je 1 a 0 <1). Naproti tomu f ( x ) = x + 1 nemá vůbec žádné pevné body, takže nemá nejméně jeden a f ( x ) = x má nekonečně mnoho pevných bodů, ale nemá alespoň jeden.

Aplikace

Mnoho vět s pevným bodem poskytuje algoritmy pro vyhledání nejméně pevného bodu. Nejméně pevné body mají často žádoucí vlastnosti, které libovolné pevné body nemají.

V matematické logice a informatice souvisí nejméně pevný bod s vytvářením rekurzivních definic (podrobnosti viz teorie domény a / nebo denotační sémantika ).

Immerman a Vardi nezávisle ukázal popisná složitost následek, že polynomiální rekurzivní vlastnosti z lineárně uspořádaných struktur jsou definovatelné v FO (LFP) , tedy v logiky prvního řádu s provozovatelem nejméně pevného bodu. FO (LFP) je však příliš slabý na to, aby vyjádřil všechny vlastnosti polynomiálního času neuspořádaných struktur (například že struktura má sudou velikost).

Příklady

Nechť G = ( V , A ) je směrovaný graf a v je vrchol. Soubor uzlů, které jsou přístupné z V, může být definován jako sada S, který je nejméně s pevnou řádovou čárkou pro vlastnost: v patří S , a pokud W patří S , a tam je okraj od w do x , pak x patří S . Sada uzlů, které jsou společně přístupné z v, je definována podobným nejmenším fixním bodem. Na jedné straně je pevně připojena složka z V, je průnik těchto dvou alespoň pevných bodů.

Pojďme být bezkontextová gramatika . Sada symbolů, které vytváří prázdný řetězec může být získán jako nejméně pevným bodem funkce , definované jako kde označuje napájecí sady z . ${\ displaystyle G = (V, \ Sigma, R, S_ {0})}$${\ displaystyle E}$ ${\ displaystyle \ varepsilon}$${\ displaystyle f: \ wp (V) \ až \ wp (V)}$${\ displaystyle f (X) = \ {S \ v V: \; S \ v X {\ text {nebo}} (S \ do \ varepsilon) \ v R {\ text {nebo}} (S \ do S ^ {1} \ dots S ^ {n}) \ v R {\ text {a}} S ^ {i} \ v X {\ text {, pro všechny}} i \}}$${\ displaystyle \ wp (V)}$${\ displaystyle V}$

Největší pevné body

Lze také určit největší pevné body, ale používají se méně často než nejméně pevné body. Ve výpočetní technice však analogicky k nejméně pevnému bodu vedou ke korekci a kódům .

Viz také

• Pevný bod
• Kleeneova věta o pevném bodě
• Věta Knaster – Tarski

Poznámky

Reference

• Immerman, Neil . Descriptive Complexity , 1999, Springer-Verlag.
• Libkin, Leonid . Prvky teorie konečných modelů , 2004, Springer.