Funkční problém - Function problem

Ve výpočetní složitosti teorie , je problém funkce je výpočetní problém , kdy jeden výstup (z celkového funkce se očekává) pro každý vstup, ale výstup je složitější než u rozhodovací problém . U funkčních problémů není výstupem jednoduše „ano“ nebo „ne“.

Formální definice

Funkční problém je definován jako vztah mezi řetězci libovolné abecedy : ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle \ Sigma}$

${\ displaystyle R \ subseteq \ Sigma ^{*} \ times \ Sigma ^{*}}$

Algoritmus řeší, zda pro každý takový vstup , který existuje uspokojivý , algoritmus jeden takový vytvoří . ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ Displaystyle (x, y) \ v R}$${\ displaystyle y}$

Příklady

Známý funkční problém je dán funkčním booleovským problémem uspokojivosti, zkráceně FSAT . Problém, který úzce souvisí s problémem rozhodování SAT , lze formulovat následovně:

Vzhledem k booleovskému vzorci s proměnnými najděte takové přiřazení , které vyhodnotí nebo rozhodne, že žádné takové přiřazení neexistuje.${\ Displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$${\ displaystyle x_ {i} \ rightarrow \ {{\ text {TRUE}}, {\ text {FALSE}} \}}$${\ Displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle {\ text {TRUE}}}$

V tomto případě je vztah dán n -ticemi vhodně kódovaných booleovských vzorců a uspokojivých přiřazení. Zatímco SAT algoritmus, napájený vzorcem , potřebuje pouze vrátit „neuspokojivé“ nebo „uspokojivé“, FSAT algoritmus musí v druhém případě vrátit nějaké uspokojivé přiřazení. ${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle \ varphi}$

Mezi další pozoruhodné příklady patří problém obchodního cestujícího , který se ptá na trasu, kterou prodávající prodal, a problém faktorizace celého čísla , který žádá o seznam faktorů.

Vztah k jiným třídám složitosti

Zvažte problém libovolného rozhodování ve třídě NP . Podle definice NP má každá instance problému, která je zodpovězena „ano“, certifikát o velikosti polynomu, který slouží jako důkaz pro odpověď „ano“. To znamená, že soubor těchto n-tic tvoří vztah, což představuje problém funkce „dané oblasti , najít certifikát pro “. Tato funkce problém se nazývá variantu funkce ve ; patří do třídy FNP . ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle L}$

FNP lze považovat za analog funkční třídy NP v tom, že řešení problémů FNP lze efektivně (tj. V polynomiálním čase z hlediska délky vstupu) ověřovat , ale ne nutně efektivně nalézt . Naproti tomu třída FP , kterou lze považovat za analog třídy funkcí P P , se skládá z funkčních problémů, jejichž řešení lze nalézt v polynomiálním čase.

Samoredukovatelnost

Všimněte si, že výše uvedený problém FSAT lze vyřešit pouze pomocí polynomiálně mnoha volání podprogramu, který rozhoduje o problému SAT : Algoritmus se nejprve může zeptat, zda je vzorec splnitelný. Poté může algoritmus opravit proměnnou na hodnotu TRUE a zeptat se znovu. Pokud je výsledný vzorec stále splnitelný, algoritmus zůstane pevně nastaven na PRAVDU a pokračuje v opravě , jinak rozhodne, že musí být NEPRAVDA a pokračuje. Tak FSAT je řešitelný v polynomiálním čase pomocí věštce rozhodující SAT . Obecně se problém v NP nazývá samoredukovatelný, pokud jeho funkční variantu lze vyřešit v polynomiálním čase pomocí věštce rozhodujícího o původním problému. Každý NP-úplný problém je sám redukovatelný. Předpokládá se, že problém celočíselné faktorizace není možné redukovat sám. ${\ Displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$${\ displaystyle x_ {1}}$

Redukce a úplné problémy

Problémy s funkcí může být snížena podobně jako rozhodovací problémy: Vzhledem k tomu, funkční problémy a můžeme říci, že se redukuje na pokud existuje polynomiálně úvazek vyčíslitelných funkcí a taková, že pro všechny případy s a možných řešení s , platí, že ${\ displaystyle \ Pi _ {R}}$${\ displaystyle \ Pi _ {S}}$${\ displaystyle \ Pi _ {R}}$${\ displaystyle \ Pi _ {S}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle S}$

• Pokud má -rozlišení, pak má -rozlišení.${\ displaystyle x}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle S}$
• ${\ Displaystyle (f (x), y) \ v S \ implikuje (x, g (x, y)) \ v R.}$

Je tedy možné definovat problémy s úplným FNP analogické problému s úplným NP:

Problém je úplný FNP, pokud lze každý problém ve FNP omezit na . Třída složitosti problémů s úplným FNP je označena FNP-C nebo FNPC . Proto je problém FSAT také problémem úplného FNP a platí, že právě tehdy, když . ${\ displaystyle \ Pi _ {R}}$${\ displaystyle \ Pi _ {R}}$${\ Displaystyle \ mathbf {P} = \ mathbf {NP}}$${\ displaystyle \ mathbf {FP} = \ mathbf {FNP}}$

Celkové funkční problémy

Vztah použitý pro definování funkční problémy má nevýhodu v tom, že jsou neúplné: Ne každý vstup má protějšek takové, že . Otázka vyčíslitelnosti důkazů tedy není oddělena od otázky jejich existence. K překonání tohoto problému je vhodné zvážit omezení funkčních problémů na celkové vztahy poskytující třídu TFNP jako podtřídu FNP . Tato třída obsahuje problémy, jako je výpočet čisté Nashovy rovnováhy v určitých strategických hrách, kde je zaručeno řešení. Kromě toho, pokud TFNP obsahuje jakýkoli problém s úplným FNP , vyplývá z toho . ${\ displaystyle R (x, y)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ Displaystyle (x, y) \ v R}$${\ displaystyle \ mathbf {NP} = {\ textbf {co-NP}}}$

Viz také

• Problém s rozhodováním
• Problém s vyhledáváním
• Problém s počítáním (složitost)
• Problém optimalizace

Reference