Unikající sada - Escaping set

V matematiky, a zejména složité dynamiky se unikající sada z celé funkce ƒ se skládá ze všech bodů, které mají tendenci k nekonečnu v rámci opakované aplikaci z ƒ. To znamená, že komplexní číslo patří do unikající sady právě tehdy, když posloupnost definovaná konverguje do nekonečna, jak se zvětší. Unikající sada je označena . ${\ displaystyle z_ {0} \ in \ mathbb {C}}$${\ displaystyle z_ {n + 1}: = f (z_ {n})}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle I (f)}$

Například pro , počátek patří do unikající sady od sekvence ${\ displaystyle f (z) = e ^ {z}}$

${\ displaystyle 0,1, e, e ^ {e}, e ^ {e ^ {e}}, \ tečky}$

inklinuje k nekonečnu.

Dějiny

Iteraci transcendentálních celých funkcí poprvé studoval Pierre Fatou v roce 1926. K unikající sadě dochází implicitně v jeho studii explicitních celých funkcí a . ${\ displaystyle f (z) = z + 1 + \ exp (-z)}$${\ displaystyle f (z) = c \ sin (z)}$

Nevyřešený problém v matematice : Může unikající sada celé transcendentální funkce mít ohraničenou komponentu? (více nevyřešených úloh z matematiky)

První studie unikající sady pro obecnou transcendentální celou funkci je zásluhou Alexandra Eremenka, který použil teorii Wiman-Valiron . Domníval se, že každá připojená součást unikající sady transcendentální celé funkce je neomezená. Toto se stalo známým jako Eremenkova domněnka . Existuje mnoho dílčích výsledků tohoto problému, ale od roku 2013 je domněnka stále otevřená.

Eremenko se také zeptal, zda lze každý unikající bod spojit s nekonečnem křivkou v unikající sadě; později se ukázalo, že tomu tak není. Ve skutečnosti existují celé funkce, jejichž unikající sady vůbec neobsahují žádné křivky.

Vlastnosti

Je známo, že pro unikající sadu jakékoli nekonstantní a nelineární celé funkce platí následující vlastnosti. (Zde nelineární znamená, že funkce nemá formu .) ${\ displaystyle f (z) = az + b}$

• Unikající sada obsahuje alespoň jeden bod.
• Hranice unikajícího setu je přesně množina Julia . Zejména unikající sada není nikdy uzavřena .
• U transcendentální celé funkce úniková sada vždy protíná sadu Julia. Zejména je unikající sada otevřená právě tehdy, pokud jde o polynom. ${\ displaystyle f}$
• Každá připojená součást uzávěru unikající sady je neomezená.
• Unikající sada má vždy alespoň jednu neomezenou připojenou komponentu.
• Unikající sada je připojena nebo má nekonečně mnoho komponent.
• Sada je připojena. ${\ displaystyle I (f) \ pohár \ {\ infty \}}$

Všimněte si, že závěrečné prohlášení neznamená Eremenkovu domněnku. (Ve skutečnosti existují propojené prostory, ve kterých odstranění jediného bodu rozptylu ponechá zbývající prostor zcela odpojený.)

Příklady

Polynomy

Polynom stupně 2 se vztahuje na analytické vlastní mapy Riemann koule , mající výborný přitahující pevný bod v nekonečnu. Unikající množina je přesně povodí přitažlivosti tohoto pevného bodu, a proto se obvykle označuje jako ** povodí nekonečna **. V tomto případě je otevřená a spojená podmnožina komplexní roviny a množina Julia je hranicí této pánve. ${\ displaystyle I (f)}$

Například unikající sada komplexního kvadratického polynomu se skládá přesně z doplňku disku uzavřené jednotky: ${\ displaystyle f (z) = z ^ {2}}$

${\ displaystyle I (f) = \ {z \ in \ mathbb {C} \ colon | z |> 1 \}.}$

Transcendentální celé funkce

Unikající sada (exp  x  - 1) / 2.

U transcendentálních celých funkcí je unikající množina mnohem komplikovanější než u polynomů: v nejjednodušších případech, jako je ten, který je znázorněn na obrázku, sestává z nespočetně mnoha křivek nazývaných vlasy nebo paprsky . V dalších příkladech může být struktura unikající sady velmi odlišná ( pavučina ). Jak bylo uvedeno výše, existují příklady transcendentálních celých funkcí, jejichž unikající sada neobsahuje žádné křivky.

Podle definice je unikající množina množina Fσδ ; to znamená spočetný průnik množin Fσ . Není to ani Gδ, ani Fσ .

Viz také

• únikový stav nebo výpomoc
• sada cílů

Poznámky

Reference

externí odkazy

• Lasse Rempe . „Báseň o domněnce Eremenko“ .