Algoritmus vlastních čísel - Eigenvalue algorithm

V numerické analýze , jedním z nejdůležitějších problémů je navrhnout efektivní a stabilní algoritmy pro nalezení vlastní čísla o a matice . Tyto algoritmy vlastních čísel mohou také najít vlastní vektory.

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vzhledem k tomu, je n × n čtvercová matice A z reálných nebo komplexních čísel, je eigenvalue lambda a přidruženým generalizované vlastní vektor v je dvojice poslouchat vztah

${\ displaystyle \ left (A- \ lambda I \ right) ^ {k} {\ mathbf {v}} = 0,}$

kde v je nenulový vektor sloupce n × 1 , I je matice identity n × n , k je kladné celé číslo a oba λ a v mohou být složité, i když A je skutečné. Když k = 1 , vektor se nazývá jednoduše vlastní vektor a dvojice se nazývá vlastní pár . V tomto případě A v = λ v . Jakékoli vlastní číslo λ z A má k němu přidružené vlastní vlastní vektory, protože pokud k je nejmenší celé číslo takové, že ( A - λI ) ^k v = 0 pro zobecněný vlastní vektor v , pak ( A - λI ) ^{k −1} v je obyčejný vlastní vektor . Hodnotu k lze vždy brát jako menší nebo rovnou n . Zejména ( A - λI ) ⁿ v = 0 pro všechny zobecněné vlastní vektory v spojené s λ .

Pro každý vlastní číslo λ z A je jádro ker ( - λI ) se skládá ze všech vektorů, přiřazených lambda (spolu s 0), která se nazývá eigenspace z lambda , zatímco vektorový prostor ker (( - λI ) ⁿ ) se skládá ze všech zobecněné vlastní vektory a nazývá se zobecněný vlastní prostor . Geometrické multiplicity z lambda je rozměr jeho eigenspace. Algebraické multiplicity of lambda je rozměr své generalizované eigenspace. Druhá terminologie je odůvodněna rovnicí

${\ Displaystyle p_ {A} \ left (z \ right) = \ det \ left (zI-A \ right) = \ prod _ {i = 1} ^ {k} (z- \ lambda _ {i}) ^ {\ alpha _ {i}},}$

kde det je determinující funkce, λ _i jsou všechna zřetelná vlastní čísla A a α _i jsou odpovídající algebraické multiplicity. Funkce p ( z ) je charakteristický polynom z A . Algebraická multiplicita je tedy multiplicita vlastního čísla jako nula charakteristického polynomu. Jelikož jakýkoli vlastní vektor je také zobecněným vlastním vektorem, geometrická multiplicita je menší nebo rovna algebraické multiplicitě. Algebraické multiplicity sečtou až n , stupeň charakteristického polynomu. Rovnice p ( z ) = 0 , se nazývá charakteristické rovnice , jak je její kořeny jsou přesně vlastní hodnoty A . Podle Cayley-Hamiltonovy věty se A samo řídí stejnou rovnicí: p _A ( A ) = 0 . V důsledku toho musí být sloupce matice buď 0, nebo zobecněné vlastní vektory vlastní hodnoty λ _j , protože jsou zničeny . Ve skutečnosti je prostor sloupců zobecněný vlastní prostor λ _j . ${\ textstyle \ prod _ {i \ neq j} (A- \ lambda _ {i} já) ^ {\ alpha _ {i}}}$${\ displaystyle (A- \ lambda _ {j} já) ^ {\ alpha _ {j}}}$

Jakákoli sbírka zobecněných vlastních vektorů odlišných vlastních čísel je lineárně nezávislá, takže lze zvolit základnu pro všechny C ⁿ skládající se z obecných vlastních vektorů. Přesněji řečeno, tento základ { v _i }ⁿ
_{i = 1} lze zvolit a uspořádat tak, aby

• pokud v _i a v _j mají stejnou vlastní hodnotu, pak také v _k pro každé k mezi i a j , a
• pokud v _i není obyčejný vlastní vektor a pokud λ _i je jeho vlastní hodnota, pak ( A - λ _i I ) v _i = v _{i −1} (zejména v ₁ musí být obyčejný vlastní vektor).

Pokud jsou tyto základní vektory umístěny jako sloupcové vektory matice V = [ v ₁ v ₂ ⋯ v _n ] , pak lze V použít k převodu A na jeho Jordan normální formu :

${\ displaystyle V ^ {- 1} AV = {\ begin {bmatrix} \ lambda _ {1} & \ beta _ {1} & 0 & \ ldots & 0 \\ 0 & \ lambda _ {2} & \ beta _ {2} & \ ldots & 0 \\ 0 & 0 & \ lambda _ {3} & \ ldots & 0 \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ ldots & \ lambda _ {n} \ end {bmatrix} },}$

kde λ _i jsou vlastní hodnoty, β _i = 1 if ( A - λ _{i +1} ) v _{i +1} = v _i a β _i = 0 jinak.

Obecněji řečeno, pokud W je jakákoli invertibilní matice, a λ je vlastní hodnota A se zobecněným vlastním vektorem v , pak ( W ^-1 AW - λI ) ^k W ^{- k} v = 0 . Tak λ je vlastní číslo W ^-1 AW s generalizovaným vlastního vektoru W ^{- K} V . To znamená, že podobné matice mají stejná vlastní čísla.

Normální, hermitovské a skutečně symetrické matice

Adjoint M ^* komplexní matice M je transpozice konjugátu M : M ^* = M ^T . Čtvercová matice A se nazývá normální, pokud dojíždí se svým adjoint: A ^* A = AA ^* . To je nazýváno Hermitian případě, že se rovná jeho adjoint: ^* = . Všechny hermitovské matice jsou normální. Pokud má A pouze skutečné prvky, pak adjung je pouze transpozice a A je Hermitian právě tehdy, je-li symetrický . Když je aplikován na vektory sloupců, lze použít adjoint k definování kanonického vnitřního produktu na C ⁿ : w ⋅ v = w ^* v . Normální, hermitovská a skutečná symetrická matice mají několik užitečných vlastností:

• Každý zobecněný vlastní vektor normální matice je obyčejný vlastní vektor.
• Jakákoli normální matice je podobná diagonální matici, protože její normální forma Jordan je diagonální.
• Vlastní vektory různých vlastních hodnot normální matice jsou kolmé.
• Nulový prostor a obraz (nebo sloupcový prostor) normální matice jsou navzájem kolmé.
• Pro každý normální matice , C ⁿ má ortonormální báze skládající se z vlastních vektorů A . Odpovídající matice vlastních vektorů je jednotná .
• Vlastní čísla hermitovské matice jsou reálná, protože ( λ - λ ) v = ( A ^* - A ) v = ( A - A ) v = 0 pro nenulový vlastní vektor v .
• Pokud A je reálné, existuje ortonormální základ pro R ⁿ sestávající z vlastních vektorů A právě tehdy, když A je symetrický.

Je možné, aby skutečná nebo složitá matice měla všechna skutečná vlastní čísla, aniž by byla Hermitianem. Například skutečná trojúhelníková matice má vlastní čísla podél své úhlopříčky, ale obecně není symetrická.

Číslo podmínky

Jakýkoli problém numerického výpočtu lze považovat za vyhodnocení nějaké funkce f pro nějaký vstup x . Číslo podmínky κ ( f , x ) úlohy je poměr relativní chyby na výstupu funkce k relativní chybě na vstupu a liší se funkcí i vstupem. Číslo podmínky popisuje, jak chyba roste během výpočtu. Jeho logaritmus base-10 říká, kolik méně číslic přesnosti existuje ve výsledku, než kolik existovalo ve vstupu. Číslo podmínky je nejlepší scénář. Odráží nestabilitu zabudovanou do problému, bez ohledu na to, jak je vyřešen. Žádný algoritmus nikdy nedokáže vyprodukovat přesnější výsledky, než je uvedeno v čísle podmínky, s výjimkou náhody. Špatně navržený algoritmus však může přinést výrazně horší výsledky. Například, jak je uvedeno níže, problém hledání vlastních čísel pro normální matice je vždy dobře podmíněn. Problém nalezení kořenů polynomu však může být velmi špatně podmíněn . Algoritmy vlastních čísel, které fungují při hledání kořenů charakteristického polynomu, tedy mohou být špatně podmíněny, i když problém není.

Pro problém řešení lineární rovnice A v = b, kde A je invertibilní, je podmínkové číslo κ ( A ⁻¹ , b ) dáno || A || _op || A ^-1 || _op , kde || || _op je operátorská norma podřízená normální euklidovské normě na C ⁿ . Vzhledem k tomu, toto číslo je nezávislé na B a je stejná pro A a A ^-1 , to je obvykle jen volal číslo stav mítk ( A ) z matice A . Tato hodnota κ ( A ) je také absolutní hodnotou poměru největšího vlastního čísla A k jeho nejmenšímu. Pokud je jednotková , pak || A || _op = || A ^-1 || _op = 1 , takže κ ( A ) = 1 . U obecných matic je často obtížné vypočítat normu operátora. Z tohoto důvodu se k odhadu počtu podmínek běžně používají jiné maticové normy .

Pro problém vlastních čísel Bauer a Fike dokázali, že pokud λ je vlastní hodnota pro diagonalizovatelnou matici n × n A s vlastní maticí V , pak je absolutní chyba ve výpočtu λ omezena součinem κ ( V ) a absolutní chyba v . Výsledkem je , že číslo podmínky pro nalezení λ je κ ( λ , A ) = κ ( V ) = || V || _op || V ^-1 || _op . Pokud je A normální, pak V je jednotné a κ ( λ , A ) = 1 . Problém vlastních čísel pro všechny normální matice je tedy dobře podmíněn.

Číslo podmínkou problému nalezení eigenspace normálního matice A , která odpovídá vlastní číslo λ bylo prokázáno, že je nepřímo úměrná minimální vzdálenost mezi lambda a další odlišné vlastní čísla A . Zejména problém vlastního prostoru pro normální matice je dobře upraven pro izolované vlastní hodnoty. Nejsou-li vlastní čísla izolována, nejlepší, v co lze doufat, je určit rozpětí všech vlastních vektorů blízkých vlastních čísel.

Algoritmy

Libovolný monický polynom je charakteristickým polynomem jeho doprovodné matice . K nalezení kořenů polynomů lze tedy použít také obecný algoritmus pro hledání vlastních čísel. Tyto Abel-Ruffini věta ukazuje, že jakýkoliv takový algoritmus pro rozměry větší než 4, musí být buď nekonečný, nebo zahrnovat funkce větší složitosti než elementárních aritmetických operací a zlomkových sil. Z tohoto důvodu existují algoritmy, které přesně počítají vlastní čísla v konečném počtu kroků, pouze pro několik speciálních tříd matic. U obecných matic jsou algoritmy iterativní a vytvářejí s každou iterací lepší přibližné řešení.

Některé algoritmy produkují všechna vlastní čísla, jiné vyprodukují několik nebo jen jednu. I tyto poslední algoritmy však lze použít k vyhledání všech vlastních čísel. Jakmile je identifikováno vlastní číslo λ matice A , lze jej použít buď k nasměrování algoritmu na jiné řešení příště, nebo ke snížení problému na ten, který již nemá λ jako řešení.

Přesměrování se obvykle provádí posunem: nahrazením A za A - μI za nějakou konstantu μ . Eigenvalue found A - μI musela μ přidány zpět získat eigenvalue pro A . Například pro napájení iterace , μ = Á . Síla iterace najde největší vlastní číslo v absolutní hodnotě, takže i když je λ pouze přibližné vlastní číslo, je nepravděpodobné, že ji iterace energie podruhé najde. Naopak metody založené na inverzní iteraci najdou nejnižší vlastní hodnotu, takže μ je vybráno daleko od λ a doufejme, že je blíže nějaké jiné vlastní hodnotě.

Redukce lze dosáhnout omezením A na prostor sloupců matice A - λI , který si A nese pro sebe. Jelikož A - λI je singulární, je prostor sloupců menší dimenze. Algoritmus vlastních čísel lze poté použít na omezenou matici. Tento proces lze opakovat, dokud nenajdete všechna vlastní čísla.

Pokud algoritmus vlastních čísel neprodukuje vlastní vektory, je běžnou praxí použít algoritmus založený na inverzní iteraci s μ nastaveným na blízkou aproximaci vlastního čísla. To se rychle sblíží s vlastním vektorem nejbližší vlastní hodnoty k μ . U malých matic je alternativou podívat se na prostor sloupců součinu A - λ ' I pro každou z ostatních vlastních hodnot λ ' .

Vzorec pro normu jednotkových vlastních složek normálních matic objevil Robert Thompson v roce 1966 a znovu objevil samostatně několik dalších. Pokud A je normální matice s vlastními hodnotami λ _i ( A ) a odpovídajícími jednotkovými vlastními vektory v _i, jejichž komponenty jsou v _{i, j} , nechť A _j je matice získaná odstraněním i -tého řádku a sloupce z A a nechť λ _k ( A _j ) je jeho k -tá vlastní hodnota. Pak ${\ textový styl n \ krát n}$${\ textový styl n-1 \ krát n-1}$

$${\ displaystyle | v_ {i, j} | ^ {2} \ prod _ {k = 1, k \ neq i} ^ {n} (\ lambda _ {i} (A) - \ lambda _ {k} ( A)) = \ prod _ {k = 1} ^ {n-1} (\ lambda _ {i} (A) - \ lambda _ {k} (A_ {j}))}$$

Pokud jsou charakteristické polynomy znaku a , lze vzorec přepsat jako ${\ displaystyle p, p_ {j}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A_ {j}}$

$${\ displaystyle | v_ {i, j} | ^ {2} = {\ frac {p_ {j} (\ lambda _ {i} (A))} {p '(\ lambda _ {i} (A)) }}}$$

${\ displaystyle p '}$

${\ displaystyle \ lambda _ {i} (A)}$

Hessenbergovy a tridiagonální matice

Protože vlastní čísla trojúhelníkové matice jsou jejími diagonálními prvky, pro obecné matice neexistuje žádná konečná metoda, jako je Gaussova eliminace pro převod matice do trojúhelníkového tvaru při zachování vlastních čísel. Je však možné dosáhnout něčeho blízkého trojúhelníkovému. Horní Hessenberg matice je čtvercová matice, pro něž všechny položky pod subdiagonal jsou nulové. Nižší Hessenbergova matice je ta, pro kterou jsou všechny položky nad superdiagonální nulové. Matice, které jsou horní i dolní Hessenbergovy, jsou tridiagonální . Hessenbergova a tridiagonální matice jsou výchozím bodem mnoha algoritmů vlastních čísel, protože nulové položky snižují složitost problému. K převodu obecné matice na Hessenbergovu matici se stejnými vlastními hodnotami se běžně používá několik metod. Pokud byla původní matice symetrická nebo hermitovská, bude výsledná matice tridiagonální.

Když jsou potřeba pouze vlastní čísla, není třeba vypočítávat matici podobnosti, protože transformovaná matice má stejné vlastní hodnoty. Pokud jsou také potřeba vlastní vektory, může být potřebná matice podobnosti k transformaci vlastních vektorů Hessenbergovy matice zpět na vlastní vektory původní matice.

U problémů se symetrickými tridiagonálními vlastními čísly lze všechna vlastní čísla (bez vlastních vektorů) vypočítat numericky v čase O (n log (n)) pomocí půlení na charakteristickém polynomu.

Iterativní algoritmy

Iterativní algoritmy řeší problém vlastních čísel vytvořením sekvencí, které konvergují k vlastním číslům. Některé algoritmy také produkují sekvence vektorů, které konvergují k vlastním vektorům. Sekvence vlastních čísel jsou nejčastěji vyjádřeny jako sekvence podobných matic, které konvergují do trojúhelníkového nebo diagonálního tvaru, což umožňuje snadné čtení vlastních čísel. Vlastní sekvence vektoru jsou vyjádřeny jako odpovídající matice podobnosti.

Přímý výpočet

I když neexistuje žádný jednoduchý algoritmus pro přímý výpočet vlastních čísel pro obecné matice, existuje řada speciálních tříd matic, kde lze vlastní čísla přímo vypočítat. Tyto zahrnují:

Trojúhelníkové matice

Protože determinant trojúhelníkové matice je součinem jejích diagonálních záznamů, je-li T trojúhelníkový, pak . Vlastní čísla T jsou tedy jeho diagonální záznamy. ${\ textstyle \ det (\ lambda IT) = \ prod _ {i} (\ lambda -T_ {ii})}$

Faktorovatelné polynomické rovnice

Pokud p je libovolný polynom a p ( A ) = 0, pak vlastní hodnoty A také splňují stejnou rovnici. Pokud má p známou faktorizaci, pak vlastní hodnoty A leží mezi jejími kořeny.

Například výstupek je čtvercová matice P , který by splňoval P ² = P . Kořeny odpovídající skalární polynomické rovnice, λ ² = λ , jsou 0 a 1. Jakákoli projekce má tedy pro vlastní čísla 0 a 1. Rozmanitost 0 jako vlastní hodnoty je neplatnosti z P , přičemž tento větší počet 1 je hodnost P .

Dalším příkladem je matice A, která splňuje A ² = α ² I pro některé skalární α . Vlastní čísla musí být ± α . Operátoři projekce

${\ displaystyle P _ {+} = {\ frac {1} {2}} \ vlevo (I + {\ frac {A} {\ alpha}} \ vpravo)}$

${\ displaystyle P _ {-} = {\ frac {1} {2}} \ vlevo (I - {\ frac {A} {\ alpha}} \ vpravo)}$

uspokojit

${\ displaystyle AP _ {+} = \ alpha P _ {+} \ quad AP _ {-} = - \ alpha P _ {-}}$

a

${\ displaystyle P _ {+} P _ {+} = P _ {+} \ quad P _ {-} P _ {-} = P _ {-} \ quad P _ {+} P _ {-} = P _ {-} P _ {+} = 0.}$

Tyto kolony prostory na P ₊ a P _- jsou eigenspaces na A , což odpovídá + α a - alfa , v tomto pořadí.

2 × 2 matice

Pro dimenze 2 až 4 existují vzorce zahrnující radikály, které lze použít k nalezení vlastních čísel. Zatímco běžná praxe pro matice 2 × 2 a 3 × 3, pro matice 4 × 4 zvyšuje složitost kořenových vzorců tento přístup méně atraktivní.

Pro matici 2 × 2

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}},}$

charakteristický polynom je

${\ displaystyle \ det {\ begin {bmatrix} \ lambda -a & -b \\ - c & \ lambda -d \ end {bmatrix}} = \ lambda ^ {2} \, - \, \ vlevo (a + d \ vpravo) \ lambda \, + \, \ vlevo (ad-bc \ right) = \ lambda ^ {2} \, - \, \ lambda \, {\ rm {tr}} (A) \, + \, \ det (A).}$

Vlastní čísla lze tedy najít pomocí kvadratického vzorce :

${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {{\ rm {tr}} (A) \ pm {\ sqrt {{\ rm {tr}} ^ {2} (A) -4 \ det (A)}}} {2}}.}$

Definujeme- li jako vzdálenost mezi dvěma vlastními hodnotami, je snadné ji vypočítat ${\ textstyle {\ rm {gap}} \ left (A \ right) = {\ sqrt {{\ rm {tr}} ^ {2} (A) -4 \ det (A)}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ částečné \ lambda} {\ částečné a}} = {\ frac {1} {2}} \ vlevo (1 \ pm {\ frac {ad} {{\ rm {mezera}} ( A)}} \ vpravo), \ qquad {\ frac {\ částečné \ lambda} {\ částečné b}} = {\ frac {\ pm c} {{\ rm {mezera}} (A)}}}$

s podobnými vzorci pro c a d . Z toho vyplývá, že výpočet je dobře podmíněn, pokud jsou vlastní čísla izolována.

Vlastní vektory lze nalézt využitím Cayley-Hamiltonovy věty . Pokud λ ₁ , λ ₂ jsou vlastní hodnoty, pak ( A - λ ₁ I ) ( A - λ ₂ I ) = ( A - λ ₂ I ) ( A - λ ₁ I ) = 0 , takže sloupce ( A - λ ₂ I ) jsou zničeny ( A - λ ₁ I ) a naopak. Za předpokladu, že ani jedna matice není nula, musí sloupce každého z nich obsahovat vlastní vektory pro druhou vlastní hodnotu. (Pokud je kterákoli matice nulová, pak A je násobek identity a jakýkoli nenulový vektor je vlastní vektor.)

Předpokládejme například

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 4 & 3 \\ - 2 & -3 \ end {bmatrix}},}$

potom tr ( A ) = 4 - 3 = 1 a det ( A ) = 4 (−3) - 3 (−2) = −6 , takže charakteristická rovnice je

${\ displaystyle 0 = \ lambda ^ {2} - \ lambda -6 = (\ lambda -3) (\ lambda +2),}$

a vlastní čísla jsou 3 a -2. Nyní,

${\ displaystyle A-3I = {\ begin {bmatrix} 1 & 3 \\ - 2 & -6 \ end {bmatrix}}, \ qquad A + 2I = {\ begin {bmatrix} 6 & 3 \\ - 2 & -1 \ end {bmatrix }}.}$

V obou maticích jsou sloupce navzájem násobky, takže lze použít kterýkoli ze sloupců. Tak, (1, -2), může být považována za eigenvector spojené s vlastní hodnotě -2, a (3, 1) jako eigenvector spojené s vlastní hodnotě 3, jak je možno ověřit jejich násobením A .

3 × 3 matice

Charakteristická rovnice symetrické matice 3 × 3, A , je:

${\ displaystyle \ det \ left (\ alpha IA \ right) = \ alpha ^ {3} - \ alpha ^ {2} {\ rm {tr}} (A) - \ alpha {\ frac {1} {2} } \ left ({\ rm {tr}} (A ^ {2}) - {\ rm {tr}} ^ {2} (A) \ right) - \ det (A) = 0.}$

Tuto rovnici lze vyřešit pomocí metod Cardana nebo Lagrangeova , ale afinní změna na A výraz výrazně zjednoduší a povede přímo k trigonometrickému řešení . Pokud = pB + QI , pak a B mají stejné charakteristických vektorů, a β je vlastní číslo B tehdy, když α = pβ + q je vlastní číslo A . Pronájem a dává ${\ textstyle q = {\ rm {tr}} (A) / 3}$${\ textstyle p = \ left ({\ rm {tr}} \ left ((A-qI) ^ {2} \ right) / 6 \ right) ^ {1/2}}$

${\ displaystyle \ det \ left (\ beta IB \ right) = \ beta ^ {3} -3 \ beta - \ det (B) = 0.}$

Substituce β = 2cos θ a určité zjednodušení pomocí identity cos 3 θ = 4cos ³ θ - 3cos θ redukuje rovnici na cos 3 θ = det ( B ) / 2 . Tím pádem

${\ displaystyle \ beta = 2 {\ cos} \ vlevo ({\ frac {1} {3}} {\ arccos} \ vlevo (\ det (B) / 2 \ vpravo) + {\ frac {2k \ pi} {3}} \ vpravo), \ quad k = 0,1,2.}$

Pokud det ( B ) je komplexní nebo je větší než 2 v absolutní hodnotě, měl by se arkkosin brát podél stejné větve pro všechny tři hodnoty k . Tento problém nevzniká, když A je reálné a symetrické, což má za následek jednoduchý algoritmus:

% Given a real symmetric 3x3 matrix A, compute the eigenvalues
% Note that acos and cos operate on angles in radians

p1 = A(1,2)^2 + A(1,3)^2 + A(2,3)^2
if (p1 == 0) 
   % A is diagonal.
   eig1 = A(1,1)
   eig2 = A(2,2)
   eig3 = A(3,3)
else
   q = trace(A)/3               % trace(A) is the sum of all diagonal values
   p2 = (A(1,1) - q)^2 + (A(2,2) - q)^2 + (A(3,3) - q)^2 + 2 * p1
   p = sqrt(p2 / 6)
   B = (1 / p) * (A - q * I)    % I is the identity matrix
   r = det(B) / 2

   % In exact arithmetic for a symmetric matrix  -1 <= r <= 1
   % but computation error can leave it slightly outside this range.
   if (r <= -1) 
      phi = pi / 3
   elseif (r >= 1)
      phi = 0
   else
      phi = acos(r) / 3
   end

   % the eigenvalues satisfy eig3 <= eig2 <= eig1
   eig1 = q + 2 * p * cos(phi)
   eig3 = q + 2 * p * cos(phi + (2*pi/3))
   eig2 = 3 * q - eig1 - eig3     % since trace(A) = eig1 + eig2 + eig3
end

Opět lze vlastní vektory A získat pomocí Cayley-Hamiltonovy věty . Pokud α ₁ , α ₂ , α ₃ jsou odlišné vlastní hodnoty A , pak ( A - α ₁ I ) ( A - α ₂ I ) ( A - α ₃ I ) = 0 . Sloupce produktu libovolných dvou z těchto matic tedy budou obsahovat vlastní vektor pro třetí vlastní hodnotu. Pokud však α ₃ = α ₁ , pak ( A - α ₁ I ) ² ( A - α ₂ I ) = 0 a ( A - α ₂ I ) ( A - α ₁ I ) ² = 0 . Tak generalizované eigenspace z alfa ₁ je překlenuta sloupcích A - α ₂ I když je obyčejný eigenspace je překlenuta sloupce ( - α ₁ I ) ( - α ₂ I ) . Obyčejný vlastní prostor α ₂ je překlenut sloupy ( A - α ₁ I ) ² .

Například pojďme

${\ displaystyle A = {\ begin {bmatrix} 3 & 2 & 6 \\ 2 & 2 & 5 \\ - 2 & -1 & -4 \ end {bmatrix}}.}$

Charakteristická rovnice je

${\ displaystyle 0 = \ lambda ^ {3} - \ lambda ^ {2} - \ lambda +1 = (\ lambda -1) ^ {2} (\ lambda +1),}$

s vlastními hodnotami 1 (multiplicity 2) a -1. Výpočet,

${\ displaystyle AI = {\ begin {bmatrix} 2 & 2 & 6 \\ 2 & 1 & 5 \\ - 2 & -1 & -5 \ end {bmatrix}}, \ qquad A + I = {\ begin {bmatrix} 4 & 2 & 6 \\ 2 & 3 & 5 \\ - 2 & -1 & -3 \ end {bmatrix}}}$

a

${\ displaystyle (AI) ^ {2} = {\ begin {bmatrix} -4 & 0 & -8 \\ - 4 & 0 & -8 \\ 4 & 0 & 8 \ end {bmatrix}}, \ qquad (AI) (A + I) = {\ začátek {bmatrix} 0 & 4 & 4 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & -2 & -2 \ end {bmatrix}}}$

Tedy (−4, −4, 4) je vlastní vektor pro −1 a (4, 2, −2) je vlastní vektor pro 1. (2, 3, −1) a (6, 5, −3) jsou obě zobecněné vektory spojené s 1, a to buď z nichž jeden by mohl být v kombinaci s (-4, -4, 4) a (4, 2, -2) se tvoří základ všeobecných vektorů a . Jakmile jsou nalezeny, lze vlastní vektory v případě potřeby normalizovat.

Vlastní vektory normálních matic 3 × 3

Pokud je matice 3 × 3 normální, pak lze k nalezení vlastních vektorů použít křížový produkt. Pokud je vlastní hodnota , pak je nulový prostor kolmý na jeho prostor sloupců. Křížový součin dvou nezávislých sloupců bude v prázdném prostoru. To znamená, že to bude vlastní vektor spojený s . Protože v tomto případě je prostor sloupců dvourozměrný, musí být vlastní prostor jednorozměrný, takže jakýkoli jiný vlastní vektor bude s ním rovnoběžný. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A- \ lambda I}$${\ displaystyle A- \ lambda I}$${\ displaystyle \ lambda}$

Pokud neobsahuje dva nezávislé sloupce, ale není 0 , lze stále použít křížový produkt. V tomto případě je vlastní hodnota multiplicity 2, takže jakýkoli vektor kolmý na prostor sloupce bude vlastní vektor. Předpokládejme, že je nenulový sloupec . Vyberte libovolný vektor, který není rovnoběžný s . Tehdy a budou kolmé na a budou tedy vlastní vektory . ${\ displaystyle A- \ lambda I}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle A- \ lambda I}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {v} \ times \ mathbf {u}}$${\ displaystyle (\ mathbf {v} \ times \ mathbf {u}) \ times \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ lambda}$

To nefunguje, když to není normální, protože prázdný prostor a prostor sloupců nemusí být u takových matic kolmé. ${\ displaystyle A}$

Viz také

• Seznam algoritmů vlastních čísel

Poznámky

Reference

Další čtení

• Bojanczyk, Adam W .; Adam Lutoborski (leden 1991). "Výpočet Eulerových úhlů symetrické matice 3X3" . SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications . 12 (1): 41–48. doi : 10.1137 / 0612005 .