Efektivní potenciál - Effective potential

Účinný potenciál (také známý jako účinný potenciální energie ) kombinuje s více, možná protilehlé, efekty do jednoho potenciálu. Ve své základní formě, to je součet ‚protilehlé‘ odstředivou potenciální energie se potenciální energie jednoho dynamického systému . Může být použit k určení oběžných drah planet ( newtonovských i relativistických ) a k provádění poloklasických atomových výpočtů a často umožňuje redukci problémů na méně dimenzí .

Definice

Efektivní potenciál. E> 0: hyperbolická oběžná dráha (A ₁ jako pericentrum), E = 0: parabolická oběžná dráha (A ₂ jako pericentrum), E <0: eliptická oběžná dráha (A ₃ jako pericentrum, A ₃ 'jako apocentrum), E = E _min : kruhová oběžná dráha (A ₄ jako poloměr). Body A ₁ , ..., A ₄ se nazývají body obratu.

Základní forma potenciálu je definována jako: ${\ displaystyle U _ {\ text {eff}}}$

${\ displaystyle U _ {\ text {eff}} (\ mathbf {r}) = {\ frac {L ^ {2}} {2 \ mu r ^ {2}}} + U (\ mathbf {r})}$,

kde

L je moment hybnosti

r je vzdálenost mezi dvěma hmotami

μ je zmenšená hmotnost obou těles (přibližně stejná jako hmotnost obíhajícího tělesa, pokud je jedna hmota mnohem větší než druhá); a

U (r) je obecná forma potenciálu .

Efektivní síla je tedy negativní gradient efektivního potenciálu:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbf {F} _ {\ text {eff}} & = - \ nabla U _ {\ text {eff}} (\ mathbf {r}) \\ & = {\ frac { L ^ {2}} {\ mu r ^ {3}}} {\ hat {\ mathbf {r}}} - \ nabla U (\ mathbf {r}) \ end {zarovnáno}}}$

kde označuje jednotkový vektor v radiálním směru. ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}}}$

Důležité vlastnosti

Existuje mnoho užitečných funkcí efektivního potenciálu, jako např

${\ displaystyle U _ {\ text {eff}} \ leq E}$.

Chcete-li najít poloměr kruhové oběžné dráhy, jednoduše minimalizujte efektivní potenciál vzhledem k nebo ekvivalentně nastavte čistou sílu na nulu a poté vyřešte : ${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r_ {0}}$

${\ displaystyle {\ frac {dU _ {\ text {eff}}} {dr}} = 0}$

Po vyřešení pro , připojte to zpět, abyste našli maximální hodnotu efektivního potenciálu . ${\ displaystyle r_ {0}}$${\ displaystyle U _ {\ text {eff}}}$${\ displaystyle U _ {\ text {eff}} ^ {\ text {max}}}$

Kruhová dráha může být buď stabilní, nebo nestabilní. Pokud je nestabilní, malé narušení by mohlo destabilizovat oběžnou dráhu, ale stabilní oběžná dráha je stabilnější. Chcete-li určit stabilitu kruhové oběžné dráhy, určete konkávnost efektivního potenciálu. Pokud je konkávnost kladná, oběžná dráha je stabilní:

${\ displaystyle {\ frac {d ^ {2} U _ {\ text {eff}}} {dr ^ {2}}}> 0}$

Frekvence malých oscilací pomocí základní Hamiltonovské analýzy je

${\ displaystyle \ omega = {\ sqrt {\ frac {U _ {\ text {eff}} ''} {m}}}}$,

kde double prime označuje druhou derivaci efektivního potenciálu s ohledem na a je hodnocena na minimu. ${\ displaystyle r}$

Gravitační potenciál

Složky efektivního potenciálu dvou rotujících těles: (nahoře) kombinované gravitační potenciály; (btm) kombinované gravitační a rotační potenciály

Vizualizace efektivního potenciálu v rovině obsahující oběžnou dráhu (model šedé gumy s fialovými konturami stejného potenciálu), Lagrangeovy body (červená) a planeta (modrá) obíhající kolem hvězdy (žlutá)

Uvažujme částečku hmoty m obíhající mnohem těžší těleso o hmotnosti M . Předpokládejme newtonovskou mechaniku , která je klasická i nerelativistická. Úspora energie a moment hybnosti dávají dvě konstanty E a L , které mají hodnoty

${\ displaystyle E = {\ frac {1} {2}} m \ vlevo ({\ dot {r}} ^ {2} + r ^ {2} {\ dot {\ phi}} ^ {2} \ vpravo ) - {\ frac {GmM} {r}},}$

${\ displaystyle L = mr ^ {2} {\ dot {\ phi}} \,}$

když je pohyb větší hmoty zanedbatelný. V těchto výrazech

${\ displaystyle {\ dot {r}}}$ je derivace r vzhledem k času,

${\ displaystyle {\ dot {\ phi}}}$je úhlová rychlost hmoty  m ,

G je gravitační konstanta ,

E je celková energie a

L je moment hybnosti .

Jsou zapotřebí pouze dvě proměnné, protože pohyb probíhá v rovině. Nahrazení druhého výrazu do prvního a přeskupení dává

${\ displaystyle m {\ dot {r}} ^ {2} = 2E - {\ frac {L ^ {2}} {mr ^ {2}}} + {\ frac {2GmM} {r}} = 2E- {\ frac {1} {r ^ {2}}} \ vlevo ({\ frac {L ^ {2}} {m}} - 2GmMr \ vpravo),}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} m {\ dot {r}} ^ {2} = E-U _ {\ text {eff}} (r),}$

kde

${\ displaystyle U _ {\ text {eff}} (r) = {\ frac {L ^ {2}} {2mr ^ {2}}} - {\ frac {GmM} {r}}}$

je efektivní potenciál. Původní problém se dvěma proměnnými byl snížen na problém s jednou proměnnou. U mnoha aplikací lze s efektivním potenciálem zacházet přesně jako s potenciální energií jednorozměrného systému: například energetický diagram využívající efektivní potenciál určuje body obratu a umístění stabilních a nestabilních rovnováh . Podobná metoda může být použita v jiných aplikacích, například při určování oběžných drah v obecné relativistické Schwarzschildově metrice .

Efektivní potenciály jsou široce používány v různých podpolí kondenzovaných látek, např. Gauss-core potenciál (Likos 2002, Baeurle 2004) a prověřovaný Coulombův potenciál (Likos 2001).

Viz také

• Geopotenciál

Poznámky

Reference

Další čtení

• José, JV; Saletan, EJ (1998). Klasická dynamika: Současný přístup (1. vyd.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-63636-0..
• Likos, CN; Rosenfeldt, S .; Dingenouts, N .; Ballauff, M .; Lindner, P .; Werner, N .; Vögtle, F .; et al. (2002). „Gaussova efektivní interakce mezi pružnými dendrimery čtvrté generace: teoretická a experimentální studie“ . J. Chem. Phys . 117 (4): 1869–1877. Bibcode : 2002JChPh.117.1869L . doi : 10,1063 / 1,1486209 . Archivovány od originálu na 2011-07-19.

• Baeurle, SA; Kroener J. (2004). „Modelování účinných interakcí micelárních agregátů iontových povrchově aktivních látek s potenciálem Gauss-Core“. J. Math. Chem . 36 (4): 409–421. doi : 10.1023 / B: JOMC.0000044526.22457.bb .

• Likos, CN (2001). "Efektivní interakce ve fyzice měkkých kondenzovaných látek". Fyzikální zprávy . 348 (4–5): 267–439. Bibcode : 2001PhR ... 348..267L . CiteSeerX  10.1.1.473.7668 . doi : 10.1016 / S0370-1573 (00) 00141-1 .