Sestavitelný mnohoúhelník - Constructible polygon

Stavba pravidelného pětiúhelníku

V matematiky , je constructible mnohoúhelník je pravidelný mnohoúhelník , který může být konstruován s kompasem a pravítkem . Například pravidelný pětiúhelník je konstruovatelný pomocí kompasu a pravítka, zatímco pravidelný sedmiúhelník nikoli. Existuje nekonečně mnoho konstruovatelných polygonů, ale je známo pouze 31 s lichým počtem stran.

Podmínky pro konstruovatelnost

Počet stran známých konstruovatelných polygonů, které mají až 1000 stran (tučně) nebo počet lichých stran (červený)

Stavba pravidelného 17gon

Některé pravidelné polygony lze snadno sestavit pomocí kompasu a pravítka; ostatní nejsou. Tyto Starověcí řečtí matematici věděli, jak zkonstruovat pravidelný mnohoúhelník s 3, 4 nebo 5 stran, a věděli, jak zkonstruovat pravidelný mnohoúhelník s dvojnásobným počtem stran daného pravidelného mnohoúhelníku. To vedlo k položení otázky: je možné sestrojit všechny pravidelné polygony pomocí kompasu a pravítka? Pokud tomu tak není, což n -gons (to znamená, že polygony s n hranami) jsou constructible a které ne?

Carl Friedrich Gauss prokázal konstruovatelnost pravidelného sedmnáctistovky v roce 1796. O pět let později rozvinul teorii Gaussových období ve svém Disquisitiones Arithmeticae . Tato teorie mu umožnila formulovat dostatečnou podmínku pro konstruovatelnost pravidelných mnohoúhelníků. Gauss bez důkazu uvedl, že tato podmínka je také nutná , ale svůj důkaz nikdy nezveřejnil. Úplný důkaz nutnosti předložil Pierre Wantzel v roce 1837. Výsledek je známý jako Gaussova – Wantzelova věta :

Pravidelný n -gon může být sestrojen s kompasem a pravítkem právě tehdy, když n je součinem síly 2 a libovolného počtu odlišných Fermatových prvočísel (včetně žádných).

Fermat prime je prvočíslo formuláře ${\ Displaystyle 2^{(2^{m})}+1.}$

Aby se snížilo na geometrické problém problému, čisté teorie čísel , důkaz využívá skutečnosti, že pravidelný n gon je constructible tehdy a jen tehdy, pokud je kosinus je constructible číslo to jest, mohou být napsány v podmínkách čtyř základní aritmetické operace a extrakce odmocnin . Ekvivalentně, pravidelný n gon je constructible případné kořen z n th cyclotomic polynom znamená constructible. ${\ Displaystyle \ cos (2 \ pi /n)}$

Podrobné výsledky podle Gaussovy teorie

Opakování věty Gauss-Wantzel:

Pravidelný n -gon je konstruovatelný pomocí pravítka a kompasu právě tehdy, když n = 2 ^k p ₁p ₂ ... p _t kde k a t jsou nezáporná celá čísla a p _i je (když t > 0) jsou zřetelné prvočísla Fermatu.

Pět známých prvočísel Fermatu je:

F ₀ = 3, F ₁ = 5, F ₂ = 17, F ₃ = 257 a F ₄ = 65537 (sekvence A019434 v OEIS ).

Protože existuje 31 kombinací kdekoli od jednoho do pěti Fermatových prvočísel, je známo 31 konstruovatelných polygonů s lichým počtem stran.

O dalších dvaceti osmi číslech Fermat, F ₅ až F ₃₂ , je známo, že jsou složené .

Pravidelný n -gon je tedy konstruovatelný, pokud

n = 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 15 , 16 , 17 , 20 , 24 , 30 , 32 , 34 , 40 , 48 , 51, 60 , 64 , 68, 80 , 85, 96 , 102, 120 , 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257 , 272, 320, 340, 384, 408, 480, 510, 512, 514, 544, 640, 680, 768, 771, 816, 960, 1020, 1024, 1028, 1088, 1280, 1285, 1360, 1536, 1542, 1632, 1920, 2040, 2048, ... (sekvence A003401 v OEIS ),

zatímco pravidelný n -gon není konstruovatelný pomocí kompasu a pravítka, pokud

n = 7 , 9 , 11 , 13 , 14 , 18 , 19 , 21 , 22 , 23 , 25, 26 , 27, 28 , 29, 31, 33, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 42 , 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50 , 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 69, 70 , 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 81, 82, 83, 84, 86, 87, 88, 89, 90 , 91, 92, 93, 94, 95, 97, 98, 99, 100 , 101, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, ... (sekvence A004169 v OEIS ).

Napojení na Pascalův trojúhelník

Protože existuje 5 známých Fermatových prvočísel, víme o 31 číslech, která jsou produkty odlišných Fermatových prvočísel, a tedy 31 konstruovatelných lichých pravidelných mnohoúhelníků. Jedná se o 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537 , 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295 (sekvence A045544 v OEIS ). Jak poznamenal John Conway v Knize čísel , tato čísla, psaná binárně , se rovnají prvním 32 řadám modulo -2 Pascalova trojúhelníku mínus horní řada, což odpovídá monogonu . (Z tohoto důvodu tvoří jedničky v takovém seznamu aproximaci Sierpińského trojúhelníku .) Tento vzorec se poté rozpadne, protože další číslo Fermatu je složené (4294967297 = 641 × 6700417), takže následující řádky neodpovídají konstruovatelné polygony. Není známo, zda existují ještě další Fermatovy prvočísla, a proto není známo, kolik lichých oboustranných konstruovatelných pravidelných mnohoúhelníků existuje. Obecně platí, že pokud existuje q Fermatových prvočísel, pak existují 2 ^q −1 lichých pravidelných konstruovatelných polygonů.

Obecná teorie

Ve světle pozdějších prací na Galoisově teorii byly principy těchto důkazů objasněny. Z analytické geometrie je snadné ukázat, že konstruovatelné délky musí pocházet ze základních délek řešením nějaké posloupnosti kvadratických rovnic . Pokud jde o teorii pole , musí být takové délky obsaženy v rozšíření pole generovaném věží kvadratických rozšíření . Z toho vyplývá, že pole generované konstrukcemi bude mít vždy stupeň nad základním polem, který je mocninou dvou.

V konkrétním případě pravidelného n -gonu se otázka redukuje na otázku sestrojení délky

cos 2

π

n ,

což je goniometrické číslo a tedy algebraické číslo . Toto číslo se nachází v n ' tý cyclotomic oblasti - a ve skutečnosti ve svém skutečném podpolem , což je zcela v reálném terénu a racionální vektorový prostor o rozměru

½ φ ( n ),

kde φ ( n ) je Eulerova totientová funkce . Wantzelův výsledek sestává z výpočtu, který ukazuje, že φ ( n ) je mocnina 2 přesně v uvedených případech.

Pokud jde o konstrukci Gauss, když skupina Galois je 2-skupina, vyplývá, že má posloupnost podskupin objednávek

1, 2, 4, 8, ...

které jsou vnořeny, každý v dalším ( řada kompozic , v terminologii teorie skupin ), něco, co lze v tomto případě abelianské skupiny jednoduše dokázat indukcí . Proto jsou uvnitř cyklotomického pole vnořena subpole, každé o stupeň 2 nad to předchozí. Generátory pro každé takové pole lze zapsat Gaussovou teorií období . Například pro n = 17 existuje období, které je součtem osmi kořenů jednoty , jedním, které je součtem čtyř kořenů jednoty, a jedním, které je součtem dvou, což je

cos 2

π

17 .

Každý z nich je kořenem kvadratické rovnice ve smyslu té předchozí. Kromě toho mají tyto rovnice spíše skutečné než složité kořeny, takže je v zásadě možné vyřešit geometrickou konstrukcí: je to proto, že celá práce probíhá uvnitř zcela reálného pole.

Tímto způsobem lze Gaussův výsledek chápat v současných termínech; pro skutečný výpočet rovnic, které mají být vyřešeny, mohou být periody na druhou a porovnány s 'nižšími' periodami v docela proveditelném algoritmu.

Konstrukce kompasu a pravítka

Kompasové a pravoúhlé konstrukce jsou známé pro všechny známé konstruovatelné polygony. Pokud n = pq s p = 2 nebo p a q coprime , n -gon lze sestrojit z p -gon a q -gon.

Pokud p = 2, nakreslete q -gon a rozdělte jeden z jeho středových úhlů. Z toho lze sestrojit 2 q -gon.
Pokud p > 2, vepište p -gon a q -gon do stejného kruhu takovým způsobem, aby sdílely vrchol. Protože p a q jsou coprime, existují celá čísla a a b taková, že ap + bq = 1. Pak 2 a π/ q + 2 b π/ p = 2π/ pq . Z toho lze sestrojit pq -gon.

Stačí tedy najít konstrukci kompasu a pravítka pro n -gons, kde n je Fermatova prime.

Konstrukce pro rovnostranný trojúhelník je jednoduchá a je známá již od starověku ; viz Rovnostranný trojúhelník .
Konstrukce pro pravidelný pětiúhelník popsal jak Euclid ( Elements , ca 300 BC), tak Ptolemy ( Almagest , ca AD 150); viz Pentagon .
Ačkoli Gauss dokázal , že pravidelný 17-gon je konstruovatelný, ve skutečnosti neukázal, jak to udělat. První stavba je kvůli Erchingerovi, několik let po Gaussově práci; viz Heptadecagon .
První explicitní stavby pravidelného 257-gon byly dány Magnus Georg Paucker (1822) a Friedrich Julius Richelot (1832).
Konstrukci pro pravidelný 65537 gon nejprve navrhl Johann Gustav Hermes (1894). Stavba je velmi složitá; Hermes strávil 10 let dokončováním 200stránkového rukopisu.

Galerie

Zleva doprava konstrukce 15-gon , 17-gon , 257-gon a 65537-gon . Je ukázán pouze první stupeň konstrukce 65537-gon; konstrukce 15-gon, 17-gon a 257-gon jsou uvedeny úplně.

Jiné konstrukce

Koncept konstruovatelnosti, jak je popsán v tomto článku, platí konkrétně pro konstrukce kompasů a pravítek . Pokud jsou povoleny jiné nástroje, je možné více konstrukcí. Takzvané neusisové konstrukce například používají označené pravítko. Konstrukce jsou matematickou idealizací a předpokládá se, že jsou provedeny přesně.

Pravidelného mnohoúhelníku s n stranami mohou být konstruovány s pravítkem, kompasu, a úhel trisector tehdy a pouze tehdy, když , kde r, s, k ≥ 0 a kde p _i jsou odlišné Pierpont připraví větší než 3 (připraví formy Tyto polygony jsou přesně pravidelné polygony, které lze sestrojit pomocí kuželosečky , a pravidelné polygony, které lze konstruovat skládáním papíru . První čísla stran těchto polygonů jsou: ${\ Displaystyle n = 2^{r} 3^{s} p_ {1} p_ {2} \ cdots p_ {k},}$ ${\ Displaystyle 2^{t} 3^{u} +1).}$

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 45, 48, 51, 52, 54, 56, 57, 60, 63, 64, 65, 68, 70, 72, 73, 74, 76, 78, 80, 81, 84, 85, 90, 91, 95, 96, 97, 102, 104, 105, 108, 109, 111, 112, 114, 117, 119, 120, 126, 128, 130, 133, 135, 136, 140, 144, 146, 148, 152, 153, 156, 160, 162, 163, 168, 170, 171, 180, 182, 185, 189, 190, 192, 193, 194, 195, 204, 208, 210, 216, 218, 219, 221, 222, 224, 228, 234, 238, 240, 243, 247, 252, 255, 256, 257, 259, 260, 266, 270, 272, 273, 280, 285, 288, 291, 292, 296, ... (sekvence A122254 v OEIS )

Viz také

Reference

^ ^a ^b Odvážné, Benjamine. Slavné problémy geometrie a jak je řešit , Dover Publications, 1982 (orig. 1969).
^ [ http://www.prothsearch.com/fermat.html Prvotní faktory k · 2n + 1 z čísel Fermat Fm a kompletní faktoringový stav] od Wilfrida Kellera.
^ Cox, David A. (2012), „Věta 10.1.6“, Galoisova teorie , čistá a aplikovaná matematika (2. vydání), John Wiley & Sons, s. 259, doi : 10.1002/9781118218457 , ISBN 978-1-118-07205-9.
^ Magnus Georg Paucker (1822). „Geometrische Verzeichnung des regelmäßigen Siebzehn-Ecks und Zweyhundersiebenundfünfzig-Ecks in den Kreis“ . Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst (v němčině). 2 : 160–219.
^ Friedrich Julius Richelot (1832). „De Resolutione algebraica aequationis x ²⁵⁷ = 1, sive de divisione Circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata“ . Journal für die reine und angewandte Mathematik (v latině). 9 : 1–26, 146–161, 209–230, 337–358. doi : 10,1515/crll.1832.9.337 .
^ Johann Gustav Hermes (1894). „Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile“ . Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (v němčině). Göttingen. 3 : 170–186.
^ Gleason, Andrew M. (březen 1988). „Úhlová trisekce, sedmiúhelník a triskaidecagon“. American Mathematical Monthly . 95 (3): 185–194. doi : 10,2307/2323624 .

externí odkazy

Duane W. DeTemple (1991). „Carlyle Circles a Lemoine jednoduchost polygonálních staveb“. The American Mathematical Monthly . 98 (2): 97–108. doi : 10,2307/2323939 . JSTOR 2323939 . MR 1089454 .
Christian Gottlieb (1999). „Jednoduchá a přímá konstrukce pravidelných 257 gon“. Matematický zpravodaj . 21 (1): 31–37. doi : 10,1007/BF03024829 . MR 1665155 .
Pravidelné mnohoúhelníkové vzorce , zeptejte se Dr. Math FAQ.
Carl Schick: Weiche Primzahlen und das 257-Eck: eine analyische Lösung des 257-Ecks. Zürich: C. Schick, 2008. ISBN 978-3-9522917-1-9 .
65537-gon, přesná konstrukce pro 1. stranu , s použitím Quadratrix of Hippias a GeoGebra jako další pomůcky, se stručným popisem (německy)

[Bold-1] Odvážné, Benjamine. Slavné problémy geometrie a jak je řešit , Dover Publications, 1982 (orig. 1969).

[2] [ http://www.prothsearch.com/fermat.html Prvotní faktory k · 2n + 1 z čísel Fermat Fm a kompletní faktoringový stav] od Wilfrida Kellera.

[3] Cox, David A. (2012), „Věta 10.1.6“, Galoisova teorie , čistá a aplikovaná matematika (2. vydání), John Wiley & Sons, s. 259, doi : 10.1002/9781118218457 , ISBN 978-1-118-07205-9.

[4] Magnus Georg Paucker (1822). „Geometrische Verzeichnung des regelmäßigen Siebzehn-Ecks und Zweyhundersiebenundfünfzig-Ecks in den Kreis“ . Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst (v němčině). 2 : 160–219.

[5] Friedrich Julius Richelot (1832). „De Resolutione algebraica aequationis x ²⁵⁷ = 1, sive de divisione Circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata“ . Journal für die reine und angewandte Mathematik (v latině). 9 : 1–26, 146–161, 209–230, 337–358. doi : 10,1515/crll.1832.9.337 .

[6] Johann Gustav Hermes (1894). „Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile“ . Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (v němčině). Göttingen. 3 : 170–186.

[Gleason-7] Gleason, Andrew M. (březen 1988). „Úhlová trisekce, sedmiúhelník a triskaidecagon“. American Mathematical Monthly . 95 (3): 185–194. doi : 10,2307/2323624 .

Languages

In other projects