Shodné číslo - Congruent number

V teorii čísel je kongruentní číslo kladné celé číslo, které je oblastí pravoúhlého trojúhelníku se třemi racionálními číselnými stranami. Obecnější definice zahrnuje všechna kladná racionální čísla s touto vlastností.

Pořadí (celočíselných) shodných čísel začíná na

5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45, 46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84, 85, 86, 87, 88, 92, 93, 94, 95, 96, 101, 102, 103, 109, 110, 111, 112, 116, 117, 118, 119, 120, ... (sekvence A003273 v OEIS )

Například 5 je shodné číslo, protože je to plocha (20/3, 3/2, 41/6) trojúhelníku. Podobně 6 je shodné číslo, protože je to plocha (3,4,5) trojúhelníku. 3 a 4 nejsou shodná čísla.

Pokud q je shodné číslo, pak s ² q je také shodné číslo pro jakékoli přirozené číslo s (pouze vynásobením každé strany trojúhelníku s ) a naopak. To vede k pozorování, že zda nenulové racionální číslo q je shodné číslo, závisí pouze na jeho zbytku ve skupině

${\ Displaystyle \ mathbb {Q} ^{*}/\ mathbb {Q} ^{*2}}$,

kde je množina nenulových racionálních čísel. ${\ displaystyle \ mathbb {Q} ^{*}}$

Každá třída zbytků v této skupině obsahuje přesně jedno celé číslo bez čtverců , a proto je běžné pouze uvažovat kladná celá čísla bez čtverců, když mluvíme o shodných číslech.

Problém shodného čísla

Otázka určení, zda je dané racionální číslo shodné číslo, se nazývá problém shodného čísla . Tento problém nebyl (od roku 2019) úspěšně vyřešen. Tunnellova věta poskytuje snadno testovatelné kritérium pro určení, zda je číslo shodné; ale jeho výsledek se opírá o Birchovu a Swinnerton-Dyerovu dohadu , která je stále neprokázaná.

Fermatova věta o pravoúhlém trojúhelníku , pojmenovaná po Pierru de Fermatovi , říká, že žádné čtvercové číslo nemůže být shodné číslo. Avšak ve formě, že každý kongruum (rozdíl mezi po sobě jdoucími prvky v aritmetické progresi tří čtverců) není čtvercový, to již bylo známo (bez důkazu) Fibonaccimu . Každé kongruum je shodné číslo a každé shodné číslo je součinem kongruum a druhou mocninou racionálního čísla. Určení, zda je číslo kongruum, je však mnohem snazší než určení, zda je shodné, protože pro kongrua existuje parametrizovaný vzorec, pro který je třeba testovat pouze konečný počet hodnot parametrů.

Řešení

n je shodné číslo právě tehdy, když je systém

${\ Displaystyle x^{2} -ny^{2} = u^{2}}$, ${\ Displaystyle x^{2}+ny^{2} = v^{2}}$

má řešení kde a jsou celá čísla. ${\ Displaystyle x, y, u}$${\ displaystyle v}$

Vzhledem k řešení budou tři čísla , a , v aritmetickém postupu se společným rozdílem . ${\ displaystyle u^{2}}$${\ displaystyle x^{2}}$${\ displaystyle v^{2}}$${\ displaystyle ny^{2}}$

Kromě toho, pokud existuje jedno řešení (kde pravé strany jsou čtverce), pak existuje nekonečně mnoho: vzhledem k jakémukoli řešení lze jiné řešení vypočítat z ${\ displaystyle (x, y)}$${\ displaystyle (x ', y')}$

${\ Displaystyle x '= (xu)^{2}+n (yv)^{2}}$,

${\ Displaystyle y '= 2xyuv}$.

Například s , jsou rovnice: ${\ displaystyle n = 6}$

${\ Displaystyle x^{2} -6y^{2} = u^{2}}$,

${\ displaystyle x^{2}+6y^{2} = v^{2}}$.

Jedním z řešení je (tak ). Další řešení je ${\ Displaystyle x = 5, y = 2}$${\ Displaystyle u = 1, v = 7}$

${\ Displaystyle x '= (5 \ cdot 1)^{2} +6 (2 \ cdot 7)^{2} = 1201}$,

${\ Displaystyle y '= 2 \ cdot 5 \ cdot 2 \ cdot 1 \ cdot 7 = 140}$.

S tímto novým a jsou pravé strany stále obě čtverce: ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$

${\ Displaystyle u^{2} = 1201^{2} -6 \ cdot 140^{2} = 1324801 = 1151^{2}}$

${\ Displaystyle v^{2} = 1201^{2} +6 \ cdot 140^{2} = 1560001 = 1249^{2}}$.

Vzhledem k tomu , a , lze získat , a tak ${\ Displaystyle x, y, u}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle c}$

${\ Displaystyle a^{2}+b^{2} = c^{2}}$, a ${\ displaystyle {\ frac {ab} {2}} = n}$

z

${\ displaystyle a = {\ frac {vu} {y}}}$, , .${\ displaystyle b = {\ frac {v+u} {y}}}$${\ displaystyle c = {\ frac {2x} {y}}}$

Potom a jsou nohy a přepona pravoúhlého trojúhelníku s plochou . ${\ displaystyle a, b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle n}$

Výše uvedené hodnoty produkují . Hodnoty dávají . Oba tyto pravé trojúhelníky mají plochu . ${\ Displaystyle (x, y, u, v) = (5,2,1,7)}$${\ Displaystyle (a, b, c) = (3,4,5)}$${\ Displaystyle (1201,140,1151,1249)}$${\ Displaystyle (a, b, c) = (7/10,120/7,1201/70)}$${\ displaystyle n = 6}$

Vztah k eliptickým křivkám

Otázka, zda je dané číslo shodné, se ukáže být ekvivalentní podmínce, že určitá eliptická křivka má kladné hodnocení . Alternativní přístup k myšlence je uveden níže (jak lze v zásadě nalézt také v úvodu k Tunnellovu příspěvku).

Předpokládejme , že a , b , c jsou čísla (ne nutně kladná nebo racionální), která splňují následující dvě rovnice:

${\ displaystyle {\ begin {matrix} a^{2}+b^{2} & = & c^{2}, \\ {\ tfrac {1} {2}} ab & = & n. \ end {matrix}} }$

Poté nastavte x = n ( a + c )/ b a y = 2 n ² ( a + c )/ b ² . Výpočet ukazuje

${\ Displaystyle y^{2} = x^{3} -n^{2} x}$

a y není 0 (pokud je y = 0 a pak se = - c , takže b = 0 , ale ( 1 / 2 ) ab = n je různé od nuly, rozpor).

Naopak, pokud x a y jsou čísla, která splňují výše uvedenou rovnici a y není 0, nastavte a = ( x ² - n ² )/ y , b = 2 nx / y , a c = ( x ² + n ² )/ y . Výpočet ukazuje, že tato tři čísla splňují dvě rovnice pro a , b , a c výše.

Tyto dvě korespondence mezi ( a , b , c ) a ( x , y ) jsou navzájem inverzní, takže máme vzájemnou korespondenci mezi jakýmkoli řešením těchto dvou rovnic v a , b , ac a jakýmkoli řešením rovnice v x a y s y nenulovou. Zejména ze vzorců ve dvou souvztažností, pro racionální n vidíme, že A , b , a c jsou racionální tehdy, když příslušné x a y jsou racionální, a naopak. (Máme také, že a , b , a c jsou všechna kladná právě tehdy, když x a y jsou všechna kladná; z rovnice y ² = x ³ - xn ² = x ( x ² - n ² ) vidíme, že pokud x a y jsou kladné, pak x ² - n ² musí být kladná, takže vzorec pro výše je kladné).

Kladné racionální číslo n je tedy kongruentní právě tehdy, když rovnice y ² = x ³ - n ² x má racionální bod s y, které se nerovná 0. Lze to ukázat (jako aplikace Dirichletovy věty na prvočísla v aritmetické progresi ), že jedinými torzními body na této eliptické křivce jsou body s y rovno 0, proto existence racionálního bodu s y nenulovou je ekvivalentní tomu, že eliptická křivka má kladné hodnocení.

Dalším přístupem k řešení je začít s celočíselnou hodnotou n označenou jako N a řešit

${\ Displaystyle N^{2} = ed^{2}+e^{2}}$

kde

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} c & = & n^{2}/e+e \\ a & = & 2n \\ b & = & n^{2}/ee \ end {matrix}}}$

Nejmenší řešení

Níže je uveden seznam racionálních řešení i s shodného čísla n a nejmenší čitateli pro c . (předpokládáme, že a < b ; a se nemůže rovnat b , protože pokud ano, pak , ale není racionální číslo; proto c a a nejsou obě racionální čísla, protože kdyby byla, pak by c / a = bylo Racionální). ${\ Displaystyle a^{2}+b^{2} = c^{2}}$${\ displaystyle {\ frac {ab} {2}} = n}$${\ displaystyle c = {\ sqrt {2}} a}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

David Goldberg vypočítala kongruentní čtverečních bez čísla menší než 10 ⁴ , spolu s odpovídajícími několika a b hodnoty.

n	A	b	C
5	${\ displaystyle {\ frac {3} {2}}}$	${\ displaystyle {\ frac {20} {3}}}$	${\ displaystyle {\ frac {41} {6}}}$
6	3	4	5
7	${\ displaystyle {\ frac {35} {12}}}$	${\ displaystyle {\ frac {24} {5}}}$	${\ displaystyle {\ frac {337} {60}}}$
13	${\ displaystyle {\ frac {780} {323}}}$	${\ displaystyle {\ frac {323} {30}}}$	${\ displaystyle {\ frac {106921} {9690}}}$
14	${\ displaystyle {\ frac {8} {3}}}$	${\ displaystyle {\ frac {21} {2}}}$	${\ displaystyle {\ frac {65} {6}}}$
15	4	${\ displaystyle {\ frac {15} {2}}}$	${\ displaystyle {\ frac {17} {2}}}$
20	3	${\ displaystyle {\ frac {40} {3}}}$	${\ displaystyle {\ frac {41} {3}}}$
21	${\ displaystyle {\ frac {7} {2}}}$	12	${\ displaystyle {\ frac {25} {2}}}$
22	${\ displaystyle {\ frac {33} {35}}}$	${\ displaystyle {\ frac {140} {3}}}$	${\ displaystyle {\ frac {4901} {105}}}$
23	${\ displaystyle {\ frac {80155} {20748}}}$	${\ displaystyle {\ frac {41496} {3485}}}$	${\ displaystyle {\ frac {905141617} {72306780}}}}$
24	6	8	10
28	${\ displaystyle {\ frac {35} {6}}}$	${\ displaystyle {\ frac {48} {5}}}$	${\ displaystyle {\ frac {337} {30}}}$
29	${\ displaystyle {\ frac {99} {910}}}$	${\ displaystyle {\ frac {52780} {99}}}$	${\ displaystyle {\ frac {48029801} {90090}}}$
30	5	12	13
31	${\ displaystyle {\ frac {720} {287}}}$	${\ displaystyle {\ frac {8897} {360}}}$	${\ displaystyle {\ frac {2566561} {103320}}}$
34	${\ displaystyle {\ frac {17} {6}}}$	24	${\ displaystyle {\ frac {145} {6}}}$
37	${\ displaystyle {\ frac {450660} {777923}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {777923} {6090}}}$	${\ displaystyle {\ frac {605170417321} {4737551070}}}}$
38	${\ displaystyle {\ frac {1700} {279}}}$	${\ displaystyle {\ frac {5301} {425}}}$	${\ displaystyle {\ frac {1646021} {118575}}}$
39	${\ displaystyle {\ frac {5} {2}}}$	${\ displaystyle {\ frac {156} {5}}}$	${\ displaystyle {\ frac {313} {10}}}$
41	${\ displaystyle {\ frac {123} {20}}}$	${\ displaystyle {\ frac {40} {3}}}$	${\ displaystyle {\ frac {881} {60}}}$
45	${\ displaystyle {\ frac {9} {2}}}$	20	${\ displaystyle {\ frac {41} {2}}}$
46	${\ displaystyle {\ frac {253} {42}}}$	${\ displaystyle {\ frac {168} {11}}}$	${\ displaystyle {\ frac {7585} {462}}}$
47	${\ displaystyle {\ frac {11547216} {2097655}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {98589785} {5773608}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {217287944875297} {12111037689240}}}}$
52	${\ displaystyle {\ frac {1560} {323}}}$	${\ displaystyle {\ frac {323} {15}}}$	${\ displaystyle {\ frac {106921} {4845}}}$
53	${\ displaystyle {\ frac {1472112483} {202332130}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {21447205780} {1472112483}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {4850493897329785961} {297855654284978790}}}}$
54	9	12	15
55	${\ displaystyle {\ frac {1100} {117}}}$	${\ displaystyle {\ frac {117} {10}}}$	${\ displaystyle {\ frac {17561} {1170}}}$
56	${\ displaystyle {\ frac {16} {3}}}$	21	${\ displaystyle {\ frac {65} {3}}}$
60	8	15	17
61	${\ displaystyle {\ frac {6428003} {1423110}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {173619420} {6428003}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {250510625883241} {9147755349330}}}}$
...	...	...	...
101	${\ displaystyle {\ frac {267980280100} {44538033219}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {44538033219} {1326635050}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {2015242462949760001961} {59085715926389725950}}}$
...	...	...	...
157	${\ displaystyle {\ frac {6803298487826435051217540} {411340519227716149383203}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {411340519227716149383203} {21666555693714761309610}}}}$	${\ displaystyle {\ frac {224403517704336969924557513090674863160948472041} {8912332268928859588025535178967163570016480830}}}}$

Aktuální pokrok

Bylo provedeno mnoho práce při klasifikaci shodných čísel.

Je například známo, že pro prvočíslo p platí následující:

• pokud p ≡ 3 ( mod 8) , pak p není shodné číslo, ale 2 p je shodné číslo.
• pokud p ≡ 5 (mod 8) , pak p je shodné číslo.
• pokud p ≡ 7 (mod 8) , pak p a 2 p jsou shodná čísla.

Je také známo, že v každé z tříd kongruence 5, 6, 7 (mod 8) pro jakékoli dané k existuje nekonečně mnoho shodných čísel bez čtverců s k prvočiniteli.

Poznámky

Reference

• Alter, Ronald (1980), "The Congruent Number Problem", American Mathematical Monthly , Mathematical Association of America, 87 (1): 43–45, doi : 10,2307/2320381 , JSTOR  2320381
• Chandrasekar, V. (1998), "The Congruent Number Problem" (PDF) , Resonance , 3 (8): 33–45, doi : 10.1007/BF02837344
• Dickson, Leonard Eugene (2005), „Kapitola XVI“, Dějiny teorie čísel , Doverovy knihy o matematice, Svazek II: Diofantinová analýza, Dover Publications, ISBN 978-0-486-44233-4 |volume=má další text ( nápověda ) - viz historie problému.
• Guy, Richard (2004), Nevyřešené problémy v teorii čísel , Problémové knihy v matematice (Kniha 1) (3. vydání), Springer, ISBN 978-0-387-20860-2, Zbl  1058.11001 - Uvádí se v něm mnoho odkazů.
• Tunnell, Jerrold B. (1983), „Klasický diofantinový problém a modulární formy hmotnosti 3/2“ , Inventiones Mathematicae , 72 (2): 323–334, Bibcode : 1983InMat..72..323T , doi : 10,1007 / BF01389327 , hdl : 10338.dmlcz/137483

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Shodující se číslo“ . MathWorld .
• Krátká diskuse o současném stavu problematiky s mnoha odkazy lze nalézt v Alice Silverberg ‚s otevřenými otázkami v aritmetické algebraické geometrie (Postscript).
• Bilion trojúhelníků - matematici vyřešili první bilion případů (podmíněno dohadem Birch a Swinnerton -Dyer ).