Vektory řádků a sloupců - Row and column vectors

V lineární algebře je vektorem sloupce sloupec položek, například

${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} = {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\\ vdots \\ x_ {m} \ end {bmatrix}} \ ,.}$

Podobně je vektor řádků řádek záznamů

${\ displaystyle {\ boldsymbol {a}} = {\ begin {bmatrix} a_ {1} & a_ {2} & \ dots & a_ {n} \ end {bmatrix}} \ ,.}$

V celém textu se tučné písmo používá pro vektory řádků i sloupců. Transpozice (označeno T) z řádkového vektoru je sloupcový vektor

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x_ {1} \; x_ {2} \; \ dots \; x_ {m} \ end {bmatrix}} ^ {\ rm {T}} = {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\\ vdots \\ x_ {m} \ end {bmatrix}} \ ,,}$

a transpozice vektoru sloupce je vektor řádku

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\\ vdots \\ x_ {m} \ end {bmatrix}} ^ {\ rm {T}} = {\ begin {bmatrix} x_ {1} \; x_ {2} \; \ tečky \; x_ {m} \ end {bmatrix}} \ ,.}$

Sada všech řádkových vektorů s n položkami tvoří n -dimenzionální vektorový prostor ; podobně sada všech vektorů sloupců s m položkami tvoří m -dimenzionální vektorový prostor.

Prostor řádkových vektorů s n položkami lze považovat za duální prostor prostoru sloupcových vektorů s n položkami, protože jakoukoli lineární funkci v prostoru vektorů sloupců lze reprezentovat jako levé násobení jedinečného řádkového vektoru.

Zápis

Pro zjednodušení psaní vektorů sloupců in-line s jiným textem se někdy zapisují jako vektory řádků s aplikovanou operací transpozice.

${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} = {\ begin {bmatrix} x_ {1} \; x_ {2} \; \ dots \; x_ {m} \ end {bmatrix}} ^ {\ rm {T} }}$

nebo

${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} = {\ begin {bmatrix} x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {m} \ end {bmatrix}} ^ {\ rm {T}}}$

Někteří autoři také používají konvenci psaní jak sloupcových vektorů, tak řádkových vektorů jako řádků, ale oddělující řádkové vektorové prvky čárkami a sloupcové vektorové prvky středníky (viz alternativní zápis 2 v tabulce níže).

	Řádek vektor	Sloupec vektor
Standardní maticová notace (mezery v poli, žádné čárky, znaky transpozice)	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x_ {1} \; x_ {2} \; \ dots \; x_ {m} \ end {bmatrix}}}$	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\\ vdots \\ x_ {m} \ end {bmatrix}} {\ text {or}} {\ begin {bmatrix} x_ { 1} \; x_ {2} \; \ dots \; x_ {m} \ end {bmatrix}} ^ {\ rm {T}}}$
Alternativní notace 1 (čárky, znaky transpozice)	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {m} \ end {bmatrix}}}$	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {m} \ end {bmatrix}} ^ {\ rm {T}}}$
Alternativní notace 2 (čárky a středníky, bez znaků transpozice)	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {m} \ end {bmatrix}}}$	${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x_ {1}; x_ {2}; \ dots; x_ {m} \ end {bmatrix}}}$

Operace

Násobení matic zahrnuje akci vynásobení každého vektoru řádků jedné matice každým sloupcovým vektorem jiné matice.

Skalární součin dvou vektorů kolony a b je ekvivalentní matrice produktu přemístit s B ,

${\ displaystyle \ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} = \ mathbf {a} ^ {\ intercal} \ mathbf {b} = {\ begin {bmatrix} a_ {1} & \ cdots & a_ {n} \ konec {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} b_ {1} \\\ vdots \\ b_ {n} \ end {bmatrix}} = a_ {1} b_ {1} + \ cdots + a_ {n} b_ { n} \ ,,}$

Symetrií bodového součinu je bodový součin dvou sloupcových vektorů a a b také ekvivalentní maticovému součinu transpozice b s a ,

${\ displaystyle \ mathbf {b} \ cdot \ mathbf {a} = \ mathbf {b} ^ {\ intercal} \ mathbf {a} = {\ begin {bmatrix} b_ {1} & \ cdots & b_ {n} \ konec {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_ {1} \\\ vdots \\ a_ {n} \ end {bmatrix}} = a_ {1} b_ {1} + \ cdots + a_ {n} b_ { n} \ ,.}$

Maticový produkt sloupce a řádkového vektoru poskytuje vnější produkt dvou vektorů a a b , příklad obecnějšího tenzorového produktu . Maticový produkt reprezentace sloupcového vektoru a a řádkový vektor reprezentace b dává složky jejich dyadického produktu,

${\ displaystyle \ mathbf {a} \ otimes \ mathbf {b} = \ mathbf {a} ^ {\ mathrm {T}} \ mathbf {b} = {\ begin {bmatrix} a_ {1} \\ a_ {2 } \\ a_ {3} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} b_ {1} & b_ {2} & b_ {3} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} a_ {1} b_ { 1} & a_ {1} b_ {2} & a_ {1} b_ {3} \\ a_ {2} b_ {1} & a_ {2} b_ {2} & a_ {2} b_ {3} \\ a_ {3} b_ {1} & a_ {3} b_ {2} & a_ {3} b_ {3} \\\ end {bmatrix}} \ ,,}$

což je transpozice maticového produktu sloupcové vektorové reprezentace b a řádkové vektorové reprezentace a ,

${\ displaystyle \ mathbf {b} \ otimes \ mathbf {a} = \ mathbf {b} ^ {\ mathrm {T}} \ mathbf {a} = {\ begin {bmatrix} b_ {1} \\ b_ {2 } \\ b_ {3} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_ {1} & a_ {2} & a_ {3} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} b_ {1} a_ { 1} & b_ {1} a_ {2} & b_ {1} a_ {3} \\ b_ {2} a_ {1} & b_ {2} a_ {2} & b_ {2} a_ {3} \\ b_ {3} a_ {1} & b_ {3} a_ {2} & b_ {3} a_ {3} \\\ end {bmatrix}} \ ,.}$

Maticové transformace

N x n matice M může představovat lineární mapu a působí na řádků a sloupců vektory jsou lineární mapa je transformační matice . Pro řádkový vektor v je produkt vM dalším řádkovým vektorem p :

${\ displaystyle vM = p \ ,.}$

Další n × n matice Q může působit na p ,

${\ displaystyle pQ = t \ ,.}$

Pak lze napsat t = p Q = v MQ , takže transformace maticového produktu MQ mapuje v přímo na t . Pokračováním s vektory řádků lze transformace matice, které dále překonfigurují n -prostor, použít vpravo od předchozích výstupů.

Když je vektor sloupce transformován na jiný vektor sloupce v rámci akce matice n × n , dojde k operaci vlevo,

${\ displaystyle p ^ {\ mathrm {T}} = Mv ^ {\ mathrm {T}} \ ,, \ quad t ^ {\ mathrm {T}} = Qp ^ {\ mathrm {T}}}$ ,

což vede k algebraickému výrazu QM v ^T pro složený výstup ze vstupu v ^T. Maticové transformace se při tomto použití sloupcového vektoru pro vstup do maticové transformace připojují vlevo.

Viz také

• Kovariance a kontravariance vektorů
• Indexová notace
• Vektor jedniček
• Jednoduchý vektor
• Standardní jednotkový vektor
• Jednotkový vektor

Poznámky

Reference

• Axler, Sheldon Jay (1997), Linear Algebra Done Right (2. vyd.), Springer-Verlag, ISBN   0-387-98259-0
• Lay, David C. (22. srpna 2005), Lineární algebra a její aplikace (3. vydání), Addison Wesley, ISBN   978-0-321-28713-7
• Meyer, Carl D. (15. února 2001), Matrix Analysis and Applied Linear Algebra , Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), ISBN   978-0-89871-454-8 , archivovány od originálu 1. března 2001
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2. vyd.), Brooks / Cole, ISBN   0-534-99845-3
• Anton, Howard (2005), Elementární lineární algebra (verze aplikace) (9. vydání), Wiley International
• Leon, Steven J. (2006), Linear Algebra With Applications (7. vydání), Pearson Prentice Hall