Brownův most - Brownian bridge

Brownův pohyb, připnutý na obou koncích. To používá Brownův most.

Brownův most je kontinuální čase stochastický proces B ( t ), jehož rozdělení pravděpodobnosti je podmíněné rozdělení pravděpodobnosti o standardní Wiener procesu W ( t ) (matematický model Brownova pohybu ), za podmínky (pokud normalizovaná), že W ( T ) = 0, takže proces je přitlačen na stejnou hodnotu, a to jak na t  = 0 a t  =  T . Přesněji:

${\ Displaystyle B_ {t}: = (W_ {t} \ mid W_ {T} = 0), \; t \ v [0, T]}$

Očekávaná hodnota můstku je nula, s rozptylem , což znamená, že největší nejistota je uprostřed můstku s nulovou nejistotou v uzlech. Kovariance z B ( y ) a B ( t ) je , nebo s (T -  T ) / T v případě, s  <  t . Přírůstky v Brownově mostě nejsou nezávislé. ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {t (Tt)} {T}}}$${\ Displaystyle \ min (s, t)-{\ frac {s \, t} {T}}}$

Vztah k jiným stochastickým procesům

Pokud W ( t ) je standardní Wienerův proces (tj. Pro t  ≥ 0, W ( t ) je normálně distribuován s očekávanou hodnotou 0 a rozptylem t a přírůstky jsou stacionární a nezávislé ), pak

${\ Displaystyle B (t) = W (t)-{\ frac {t} {T}} W (T) \,}$

je Brownův most pro t  ∈ [0,  T ]. Je nezávislý na W ( T )

Naopak, pokud B ( t ) je Brownův můstek a Z je standardní normální náhodná proměnná nezávislá na B , pak proces

${\ Displaystyle W (t) = B (t)+tZ \,}$

je Wienerův proces pro t  ∈ [0, 1]. Obecněji lze Wienerův proces W ( t ) pro t  ∈ [0,  T ] rozložit na

${\ Displaystyle W (t) = {\ sqrt {T}} B \ left ({\ frac {t} {T}} \ right)+{\ frac {t} {\ sqrt {T}}} Z.}$

Další reprezentace Brownova mostu na základě Brownova pohybu je pro t  ∈ [0,  T ]

${\ Displaystyle B (t) = {\ frac {Tt} {\ sqrt {T}}} W \ left ({\ frac {t} {Tt}} \ right).}$

Naopak pro t  ∈ [0, ∞]

${\ Displaystyle W (t) = {\ frac {T+t} {T}} B \ left ({\ frac {Tt} {T+t}} \ right).}$

Brownův most může být také reprezentován jako Fourierova řada se stochastickými koeficienty, as

${\ Displaystyle B_ {t} = \ sum _ {k = 1}^{\ infty} Z_ {k} {\ frac {{\ sqrt {2T}} \ sin (k \ pi t/T)} {k \ pi}}}$

kde jsou nezávislé identicky distribuované standardní normální náhodné proměnné (viz Karhunen – Loèveova věta ). ${\ displaystyle Z_ {1}, Z_ {2}, \ ldots}$

Brownův most je výsledkem Donskerovy věty v oblasti empirických procesů . Používá se také v testu Kolmogorov – Smirnov v oblasti statistické inference .

Intuitivní poznámky

Standardní Wiener proces splňuje W (0) = 0, a je tedy „svázán“ s původem, ale další body nejsou omezeny. V Brownova mostu procesu na straně druhé, je nejen B (0) = 0, ale také vyžadovat, aby B ( T ) = 0, která je proces „vázána“ na t = T i. Stejně jako je doslovný můstek podepřen na obou koncích pylony, je pro splnění podmínek na obou koncích intervalu [0, T ] vyžadován Brownův most . (V mírném zobecnění někdy člověk vyžaduje B ( t ₁ ) =  a a B ( t ₂ ) =  b, kde t ₁ , t ₂ , a a b jsou známé konstanty.)

Předpokládejme, že jsme pomocí počítačové simulace vygenerovali řadu bodů W (0), W (1), W (2), W (3) atd. Z Wienerovy procesní cesty. Nyní je žádoucí vyplnit další body v intervalu [0, T ], tj. Interpolovat mezi již vygenerovanými body W (0) a W ( T ). Řešením je použít Brownův můstek, který je nutný k procházení hodnotami W (0) a W ( T ).

Obecný případ

Pro obecný případ, kdy B ( t ₁ ) = a a B ( t ₂ ) = b , je rozdělení B v čase t  ∈ ( t ₁ ,  t ₂ ) normální s průměrem

${\ displaystyle a+{\ frac {t-t_ {1}} {t_ {2} -t_ {1}}} (ba)}$

a rozptyl

${\ displaystyle {\ frac {(t_ {2} -t) (t-t_ {1})} {t_ {2} -t_ {1}}},}$

a kovariance mezi B ( s ) a B ( t ), přičemž s  <  t je

${\ displaystyle {\ frac {(t_ {2} -t) (s-t_ {1})} {t_ {2} -t_ {1}}}.}$

Reference

• Glasserman, Paul (2004). Monte Carlo metody ve finančním inženýrství . New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-00451-3.
• Revuz, Daniel; Yor, Marc (1999). Continuous Martingales and Brownian Motion (2. vyd.). New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-57622-3.