2D Z-transformace - 2D Z-transform

2D Z-transformace , podobně jako Z-transformace , se používá při zpracování multidimenzionální signálu vztahovat dvojrozměrného diskrétní signál na komplexní frekvenční oblasti, v níž 2D povrch v 4D prostoru, že Fourierova transformace leží na je známo jako jednotkový povrch nebo jednotkový kruh. 2D Z-transformace je definována

${\ displaystyle X_ {z} (z_ {1}, z_ {2}) = \ součet _ {n_ {1} = 0} ^ {\ infty} \ součet _ {n_ {2} = 0} ^ {\ infty } x (n_ {1}, n_ {2}) z_ {1} ^ {- n_ {1}} z_ {2} ^ {- n_ {2}}}$

kde jsou celá čísla a jsou reprezentována komplexními čísly: ${\ displaystyle n_ {1}, n_ {2}}$${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}}$

${\ displaystyle z_ {1} = Ae ^ {j \ phi _ {1}} = A (\ cos {\ phi _ {1}} + j \ sin {\ phi _ {1}}) \,}$

${\ displaystyle z_ {2} = Be ^ {j \ phi _ {2}} = B (\ cos {\ phi _ {2}} + j \ sin {\ phi _ {2}}) \,}$

2D Z-transformace je generalizovaná verze 2D Fourierova transformace . Konverguje pro mnohem širší třídu sekvencí a je užitečným nástrojem, který umožňuje vyvodit závěry o vlastnostech systému, jako je stabilita BIBO . Používá se také k určení spojení mezi vstupem a výstupem lineárního Shift-invariantního systému , jako je manipulace s rozdílovou rovnicí k určení funkce přenosu systému .

Region konvergence (ROC)

Region konvergence je sada bodů ve složitém prostoru, kde:

${\ displaystyle ROC = | X_ {z} (z_ {1}, z_ {2}) | <\ infty}$

V případě 1D je to reprezentováno mezikruží a 2D reprezentace mezikruží je známá jako Reinhardtova doména . Z toho lze usoudit, že pouze velikost a ne fáze bodu v bodě určí, zda leží uvnitř ROC. Aby 2D Z-transformace plně definovala systém, ve kterém to znamená popsat, musí být také známa příslušná ROC. Závěry lze vyvodit na základě Regionu konvergence na základě Regionu podpory (matematiky) původní sekvence . ${\ displaystyle (z_ {1}, z_ {2})}$${\ displaystyle (n_ {1}, n_ {2})}$

Sekvence konečné podpory

Sekvence s oblastí podpory, která je spojena s oblastí v rovině, může být v doméně z reprezentována jako: ${\ displaystyle (M_ {1}, M_ {2})}$${\ displaystyle (n_ {1}, n_ {2})}$

${\ displaystyle X_ {z} (z_ {1}, z_ {2}) = \ součet _ {n_ {1} = 0} ^ {M_ {1}} \ součet _ {n_ {2} = 0} ^ { M_ {2}} x (n_ {1}, n_ {2}) z_ {1} ^ {- n_ {1}} z_ {2} ^ {- n_ {2}}}$

Protože hranice součtu jsou konečné, pokud jsou z1 a z2 konečné, 2D Z-transformace bude konvergovat pro všechny hodnoty z1 a z2, s výjimkou případů, kdy z1 = 0 nebo z2 = 0 závisí na . ${\ displaystyle x (n_ {1}, n_ {2})}$

Sekvence prvního kvadrantu a klínu

Sekvence s oblastí podpory v prvním kvadrantu roviny mají následující 2D Z-transformaci: ${\ displaystyle (n_ {1}, n_ {2})}$

${\ displaystyle X_ {z} (z_ {1}, z_ {2}) = \ součet _ {n_ {1} = 0} ^ {\ infty} \ součet _ {n_ {2} = 0} ^ {\ infty } x (n_ {1}, n_ {2}) z_ {1} ^ {- n_ {1}} z_ {2} ^ {- n_ {2}}}$

Z transformace, pokud bod leží v ROC, pak libovolný bod o velikosti ${\ displaystyle z_ {01}, z_ {02}}$

${\ displaystyle \ left | z_ {1} \ right | {\ text {≥}} \ left | z_ {01} \ right |; \ left | z_ {2} \ right | {\ text {≥}} \ left | z_ {02} \ vpravo |}$

také leží v ROC. Kvůli těmto podmínkám musí mít hranice ROC záporný sklon nebo sklon 0. To lze předpokládat, protože pokud by byl sklon kladný, existovaly by body, které splňují předchozí podmínku, ale také leží mimo ROC. Například sekvence:

${\ displaystyle x_ {n} (n_ {1}, n_ {2}) = a_ {1} ^ {n} \ delta (n_ {1} -n_ {2}) u [n_ {1}, n_ {2 }]}$ má transformaci ${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle X_ {z} (z_ {1}, z_ {2}) = {\ frac {1} {1-az_ {1} ^ {- 1} z_ {2} ^ {- 1}}}}$

Je zřejmé, že to konverguje pouze pro

${\ displaystyle \ left | a \ right | <\ left | z_ {01} \ right | \ left | z_ {02} \ right | = \ ln (\ left | a \ right |) <\ ln (\ left | z_ {01} \ right |) - \ ln (\ left | z_ {02} \ right |)}$

Hranicí ROC je tedy čára se sklonem -1 v rovině. ${\ displaystyle ln (z_ {01}), ln (z_ {02})}$

V případě klínové sekvence, kde oblast podpory je menší než oblast poloviny roviny. Předpokládejme, že taková sekvence má oblast podpory nad prvním kvadrantem a oblast ve druhém kvadrantu, kde . Pokud je definována jako nová 2D Z-transformace se stane: ${\ displaystyle n_ {01} = - Ln_ {02}}$${\ displaystyle l}$${\ displaystyle l = _ {01} + Ln_ {02}}$

${\ displaystyle X_ {z} (z_ {1}, z_ {2}) = \ součet _ {n_ {1} = 0} ^ {\ infty} \ součet _ {n_ {2} = 0} ^ {\ infty } x (l-Ln_ {2}, n_ {2}) z_ {1} ^ {- l + Ln_ {2}} z_ {2} ^ {- n_ {2}}}$

To konverguje, pokud:

${\ displaystyle \ left | z_ {1} \ right | {\ text {≥}} \ left | z_ {01} \ right |; \ left | z_ {1} ^ {- L} z_ {2} \ right | {\ text {≥}} \ vlevo | z_ {01} ^ {- L} z_ {02} \ vpravo |}$

Tyto podmínky lze poté použít k určení omezení na strmosti hranice ROC podobným způsobem jako v první kvadrantové sekvenci. Tímto způsobem získáte:

${\ displaystyle ln (\ left | z_ {1} \ right |) {\ text {≥}} ln (\ left | z_ {01}) \ right |)}$ a ${\ displaystyle ln (\ left | z_ {2} \ right |) {\ text {≥}} Lln (\ left | z_ {1}) \ right |) + (ln (\ left | z_ {02}) \ right |) -Lln (\ left | z_ {01}) \ right |))}$

Sekvence s regionem podpory ve všech kvadrantech

Sekvence s neomezenou oblastí podpory může mít ROC v jakémkoli tvaru a musí být určena na základě sekvence . Níže uvádíme několik příkladů: ${\ displaystyle (n_ {1}, n_ {2})}$

${\ displaystyle x_ {n} (n_ {1}, n_ {2}) = e ^ {(- n_ {1} ^ {2} -n_ {2} ^ {2})}}$

se sblíží pro všechny . Zatímco: ${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}}$

${\ displaystyle x_ {n} (n_ {1}, n_ {2}) = a ^ {(n_ {1})} a ^ {(n_ {2})}, a {\ text {≥}} 1}$

nebude konvergovat pro žádnou hodnotu . Jedná se však o extrémní případy a obvykle bude Z-transformace konvergovat přes konečnou oblast. ${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}}$

Sekvenci s podporou celé lze zapsat jako součet každé sekvence kvadrantu: ${\ displaystyle n_ {1}, n_ {2}}$

${\ displaystyle x_ {n} (n_ {1}, n_ {2}) = x_ {1} (n_ {1}, n_ {2}) + x_ {2} (n_ {1}, n_ {2}) + x_ {3} (n_ {1}, n_ {2}) + x_ {4} (n_ {1}, n_ {2})}$

Nyní předpokládejme:

${\ displaystyle x_ {1} (n_ {1}, n_ {2}) = {\ begin {cases} x_ {n} (n_ {1}, n_ {2}), & {\ mbox {if}} n_ {1}> 0, n_ {2}> 0 \\ 0,5x_ {n} (n_ {1}, n_ {2}), & {\ mbox {if}} n_ {1} = 0, n_ {2} > 0; n_ {1}> 0, n_ {2} = 0 \\ 0,25x_ {n} (n_ {1}, n_ {2}), & {\ mbox {if}} n_ {1} = n_ { 2} = 0 \\ 0, jinak \ end {cases}}}$

a také mají podobné definice v příslušných kvadrantech. Pak je oblast konvergence jednoduše průsečík mezi čtyřmi 2D Z-transformacemi v každém kvadrantu. ${\ displaystyle x_ {2} (n_ {1}, n_ {2}), x_ {3} (n_ {1}, n_ {2}), x_ {4} (n_ {1}, n_ {2}) }$

Využití 2D Z-transformace k řešení diferenčních rovnic

2D rozdílová rovnice souvisí vstup s výstupem systému s lineárním posunem-proměnným (LSI) následujícím způsobem:

${\ displaystyle \ sum _ {k_ {1} = 0} ^ {K_ {1} -1} \ sum _ {k_ {2} = 0} ^ {K_ {2} -1} b (k_ {1}, k_ {2}) y (n_ {1} -k_ {1}, n_ {2} -k_ {2}) = \ sum _ {r_ {1} = 0} ^ {R_ {1} -1} \ sum _ {r_ {2} = 0} ^ {R_ {2} -1} a (r_ {1}, r_ {2}) x (n_ {1} -r_ {1}, n_ {2} -r_ {2 })}$

Kvůli konečným limitům výpočtu lze předpokládat, že obě a a b jsou posloupnosti konečného rozsahu. Po použití transformace z se rovnice stává:

${\ displaystyle Y_ {z} (z_ {1}, z_ {2}) \ součet _ {k_ {1} = 0} ^ {K_ {1} -1} \ součet _ {k_ {2} = 0} ^ {K_ {2} -1} b (k_ {1}, k_ {2}) z_ {1} ^ {- k_ {1}} z_ {2} ^ {- k_ {2}} = X_ {z} ( z_ {1}, z_ {2}) \ sum _ {r_ {1} = 0} ^ {R_ {1} -1} \ sum _ {r_ {2} = 0} ^ {R_ {2} -1} a (r_ {1}, r_ {2}) z_ {1} ^ {- r_ {1}} z_ {2} ^ {- r_ {2}}}$

To dává:

${\ displaystyle H_ {z} (z_ {1}, z_ {2}) = {\ frac {X_ {z} (z_ {1}, z_ {2})} {Y_ {z} (z_ {1}, z_ {2})}} = {\ frac {\ sum _ {k_ {1} = 0} ^ {K_ {1} -1} \ sum _ {k_ {2} = 0} ^ {K_ {2} - 1} a (k_ {1}, k_ {2}) z_ {1} ^ {- k_ {1}} z_ {2} ^ {- k_ {2}}} {\ sum _ {r_ {1} = 0 } ^ {R_ {1} -1} \ sum _ {r_ {2} = 0} ^ {R_ {2} -1} b (r_ {1}, r_ {2}) z_ {1} ^ {- r_ {1}} z_ {2} ^ {- r_ {2}}}} = {\ frac {A_ {z} (z_ {1}, z_ {2})} {B_ {z} (z_ {1}, z_ {2})}}}$

Definovali jsme tedy vztah mezi vstupem a výstupem systému LSI.

Použití 2D Z-transformace k určení stability

Shanksova věta I

Pro první kvadrant rekurzivní filtr, ve kterém . Filtr je stabilní, pokud: ${\ displaystyle H_ {z} (z_ {1}, z_ {2}) = {\ frac {1} {B_ {z} (z_ {1}, z_ {2})}}}$

${\ displaystyle B_ {z} (z_ {1}, z_ {2}) \ neq 0}$ pro všechny body takové, že nebo . ${\ displaystyle (z_ {1}, z_ {2})}$${\ displaystyle \ left | z_ {1} \ right | {\ text {≥}} 1}$${\ displaystyle \ left | z_ {2} \ right | {\ text {≥}} 1}$

Shanksova věta II

Pro první kvadrant rekurzivní filtr, ve kterém . Filtr je stabilní, pokud: ${\ displaystyle H_ {z} (z_ {1}, z_ {2}) = {\ frac {1} {B_ {z} (z_ {1}, z_ {2})}}}$

${\ displaystyle B_ {z} (z_ {1}, z_ {2}) \ neq 0, \ left | z_ {1} \ right | {\ text {≥}} 1, \ left | z_ {2} \ right | = 1}$

${\ displaystyle B_ {z} (z_ {1}, z_ {2}) \ neq 0, \ left | z_ {1} \ right | = 1, \ left | z_ {2} \ right | {\ text {≥ }} 1}$

Huangova věta

Pro první kvadrant rekurzivní filtr, ve kterém . Filtr je stabilní, pokud: ${\ displaystyle H_ {z} (z_ {1}, z_ {2}) = {\ frac {1} {B_ {z} (z_ {1}, z_ {2})}}}$

${\ displaystyle B_ {z} (z_ {1}, z_ {2}) \ neq 0, \ left | z_ {1} \ right | {\ text {≥}} 1, \ left | z_ {2} \ right | = 1}$

${\ displaystyle B_ {z} (a, z_ {2}) \ neq 0, \ left | z_ {2} \ right | {\ text {≥}} 1}$ pro všechny takové ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ left | a \ right | {\ text {≥}} 1}$

Decarlo a Strintzisova věta

Pro první kvadrant rekurzivní filtr, ve kterém . Filtr je stabilní, pokud: ${\ displaystyle H_ {z} (z_ {1}, z_ {2}) = {\ frac {1} {B_ {z} (z_ {1}, z_ {2})}}}$

${\ displaystyle B_ {z} (z_ {1}, z_ {2}) \ neq 0, \ left | z_ {1} \ right | = 1, \ left | z_ {2} \ right | = 1}$

${\ displaystyle B_ {z} (a, z_ {2}) \ neq 0, \ left | z_ {2} \ right | {\ text {≥}} 1}$ pro všechny takové ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle \ left | a \ right | = 1}$

${\ displaystyle B_ {z} (z_ {1}, b) \ neq 0, \ left | z_ {1} \ right | {\ text {≥}} 1}$ pro všechny takové ${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ left | b \ right | = 1}$

Řešení 2D Z-transformací

Přístup 1: Konečné sekvence

U konečných sekvencí je 2D Z-transformace jednoduše součtem velikosti každého bodu vynásobeného převrácenou na inverzní sílu umístění odpovídajícího bodu. Například sekvence: ${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}}$

${\ displaystyle x (n_ {1}, n_ {2}) = 3 \ delta (n_ {1}, n_ {2}) + 6 \ delta (n_ {1} -1, n_ {2}) + 2 \ delta (n_ {1}, n_ {2} -1) +4 \ delta (n_ {1} -1, n_ {2} -1)}$

má Z-transformaci:

${\ displaystyle X (z_ {1}, z_ {2}) = 3 + 6z_ {1} ^ {- 1} + 2z_ {2} ^ {- 1} + 4z_ {1} ^ {- 1} z_ {2 } ^ {- 1}}$

Jelikož se jedná o konečnou sekvenci, ROC je pro všechny . ${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}}$

Přístup 2: Sekvence s hodnotami pouze podél nebo ${\ displaystyle n_ {1}}$${\ displaystyle n_ {2}}$

Pro sekvenci s oblastí podpory pouze nebo lze sekvenci považovat za 1D signál a 1D Z-transformaci lze použít k řešení 2D Z-transformace. Například sekvence: ${\ displaystyle n_ {1} = 0}$${\ displaystyle n_ {2} = 0}$

${\ displaystyle X_ {z} (z_ {1}, z_ {2}) = {\ begin {cases} \ delta (n_ {1}), & {\ mbox {if}} 0 {\ text {≤}} n_ {2} {\ text {≤}} N-1 \\ 0, jinak \ end {případy}}}$

Je jasně dané . ${\ displaystyle u [n_ {2}] - u [n_ {2} -N]}$

Proto je jeho Z-transformace dána vztahem:

${\ displaystyle X_ {z} (z_ {1}, z_ {2}) = 1 + z_ {2} ^ {- 1} + z_ {2} ^ {- 2} + ... + z_ {2} ^ {-N + 1}}$

${\ displaystyle X_ {z} (z_ {1}, z_ {2}) = {\ begin {cases} N, & {\ mbox {if}} z_ {2} = 1 \\ {\ frac {1-z_ {2} ^ {- N}} {1-z_ {2} ^ {- 1}}}, jinak \ end {cases}}}$

Jelikož se jedná o konečnou sekvenci, ROC je pro všechny . ${\ displaystyle z_ {1}, z_ {2}}$

Přístup 3: Oddělitelné sekvence

Oddělitelná sekvence je definována jako ${\ displaystyle x (n_ {1}, n_ {2}) = f (n_ {1}) g (n_ {2})}$

Pro oddělení oddělitelné sekvence je 2D Z-transformace stejně jednoduchá jako oddělení sekvence, přičemž je výsledkem 1D Z-transformace každého signálu a . Například sekvence: ${\ displaystyle f (n_ {1})}$${\ displaystyle g (n_ {2})}$

${\ displaystyle x (n_ {1}, n_ {2}) = a ^ {n_ {1} + n_ {2}} u [n_ {1}, n_ {2}] = a ^ {n_ {1}} u [n_ {1}] a ^ {n_ {2}} u [n_ {2}] = f (n_ {1}) g (n_ {2})}$

Proto je jeho Z-transformace dána vztahem

${\ displaystyle X_ {z} (z_ {1}, z_ {2}) = F_ {z} (z_ {1}) G (z_ {2}) = ({\ frac {1} {1-az_ {1 } ^ {- 1}}}) ({\ frac {1} {1-az_ {2} ^ {- 1}}}) = {\ frac {1} {(1-az_ {1} ^ {- 1 }) (1-az_ {2} ^ {- 1})}}}$

ROC je dán vztahem:

${\ displaystyle \ left | z_ {1} \ right |> \ left | a \ right |}$  ; ${\ displaystyle \ left | z_ {2} \ right |> \ left | a \ right |}$

Reference